В наиболее общей форме парадокс Бертрана Рассела выглядит так:

Пусть М - множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Вопрос: содержит ли М само себя в качестве элемента?

Если ответ «да», то, по определению М, оно не должно быть элементом М и мы получили противоречие.

Если ответ «нет» - то, по определению М, оно должно быть элементом М - вновь противоречие…

«В чём же суть противоречия? Класс иногда является, а иногда не является членом самого себя. « Класс чайных ложек, например, не является другой чайной ложкой, но классы вещей, не являющиеся чайными ложками, являются одними из вещей, которые не являются чайными ложками».

Парадокс Рассела связан с использованием понятия класса всех собственных классов. «Собственным» называется класс, не содержащий себя самого в качестве своего элемента. «Несобственным» - класс, который, по предположению, содержит себя самого в качестве своего элемента. Полагают, что таков класс всех классов. Относительно класса всех собственных классов («расселовского класса») и ставится вопрос: каков он - собственный или несобственный? Если предположить, что он собственный, то он должен быть отнесён к несобственным классам, и наоборот.

В полушутливой форме Рассел представляет этот парадокс через однотипный, так называемый парадокс «Брадобрея» во «Введении в философию математики» (1919). Деревенский брадобрей должен брить всех тех и только тех жителей своей деревни, которые не бреются сами. Должен ли он брить самого себя? Если он будет брить себя, значит, он бреется сам и не имеет права брить себя. Но если он не будет брить себя, он имеет право себя брить. Таким образом можно продемонстрировать и парадоксальность «множества всех множеств, не являющихся собственными элементами». Надо отметить, что «Брадобрей» - не «чистый парадокс», ибо из него следует только, что такого парикмахера вообще не может существовать, т. е. «принципиально не может быть найдена никакая однозначная и непротиворечивая определённость для этой совокупности, содержащая элементы, определимые только в терминах этой совокупности, а также элементы, включающие в себя или предполагающие эту совокупность». Устраняется парадокс заключением, что если некоторые предпосылки рождают противоречие, значит они неверны.

Антиномия Рассела сыграла важную роль в развитии оснований математики. Она подорвала основы теории множеств, саму новую логику, стала истинным бедствием и крушением надежд тех, кто занимался проблемами обоснования математики и логики на рубеже XIX-XX веков.

Рассел в 1903 г. не признавал открыто, что обнаружил решение парадокса. В «Предисловии» к «Принципам математики» он отмечал, что единственным оправданием для публикации работы, имеющей ряд нерешённых вопросов, было то, что это исследование давало возможность глубже проникнуть в природу классов. Как возможное решение в «Приложении В» к данной работе Рассел предлагал простую теорию типов. В дальнейшем он приходит к убеждению, что именно эта теория, развитая в систему, даёт возможность устранить парадокс».

Колесников А. С., Философия Бертрана Рассела, Л., Издательство Ленинградского университета, 1991 г., с. 84-85.

Брадобрей, получив приказ, сначала обрадовался, потому что многие солдаты умели бриться сами, побрил тех, кто бриться сам не умел, а потом сел на пенек и задумался: а что ему с собой-то делать? Ведь если он будет брить себя, то нарушит приказ командира не брить тех, кто бреется сам. Брадобрей уже решил было, что брить себя не будет. Но тут его осенила мысль, что если он сам себя брить не будет, то окажется, что он сам не бреется, и по приказу командира он должет все-таки себя побрить…

Что с ним стало, история умалчивает.

Причем же здесь теория множеств? А вот причем: командир пытался определить множество людей, которых брадобрею нужно брить, таким образом:

те и только те, кто не бреется сам.

Казалось бы, обычное множество, описывается несколькими русскими словами, чем оно хуже, например, множества

все ученики школы?

Но с этим множеством тут же возникает проблема: непонятно, принадлежит ли этому множеству брадобрей.

Вот другая версия этого парадокса.

Прилагательное русского языка назовем рефлексивным , если оно обладает свойством, которое определяет. Например, прилагательное "русский" - рефлексивное, а прилагательное "английский" - нерефлексивное, прилагательное "трехсложный" - рефлексивное (это слово состоит из трех слогов), а прилагательное "четырехсложный" - нерефлексивное (состоит из пяти слогов) . Вроде бы ничто не мешает нам определить множество

все рефлексивные прилагательные.

Но давайте рассмотрим прилагательное "нерефлексивный". Оно рефлексивное или нет?

Можно заявить, что прилагательное "нерефлексивный" не является ни рефлексивным, ни нерефлексивным. Но как тогда быть с таким заклинанием:

верно либо утверждение, либо его отрицание?

(Это заклинание называется законом исключенного третьего; на нем, собственно, и основан метод от противного.)

Наконец, третья версия парадокса. Рассмотрим множество

Множества , такие что

Мы включаем во множество только те множества , которые принадлежат сами себе. Бывают же множества, которые содержат другие множества. Например, пусть

множеству принадлежат числа , а множеству - два элемента: множество и число . Возвращаясь к коробкам, это можно сказать так: одни коробки можно класть в другие коробки. (Оказывается, что в каждой такой последовательности вложенных коробок всегда конечное число элементов - этому есть глубокие причины.)

Рассмотренное множество - это своего рода "брадобрей". Если предположить, что , сразу приходим к выводу, что . Если же предположить, что - получаем, что .

Столкнувшись с этими парадоксами, создатели теории множеств осознали, что нельзя задавать множества произвольными словосочетаниями . После этого они стали бороться с парадоксами двумя способами.

Первый способ - способ Кантора, придумавшего "наивную теорию множеств", в которой запрещаются все действия и операции, ведущие к парадоксам. Идея в следующем: разрешается работать со множествами, которые " встречаются в природе", также разрешается работать со множествами, которые получаются из них разумными теоретико-множественными операциями. Пусть, например,

Множество учащихся школы,
= множество непрерывных функций

(эти множества "встречаются в природе"), из них можно получить объединение , пересечение . Можно даже умножить множество на множество : по определению

Множество пар, в которых первый элемент из первого множества, а второй - из второго. В нашем случае - это множество пар, в которых первый элемент - учащийся школы, а второй - какая-нибудь непрерывная функция.

Другой способ - аксиоматический. Этот способ преодоления парадоксов развивали Цермело и Френкель (система аксиом Цермело–Френкеля), Гедель и Бернайс (система аксиома Геделя–Бернайса). Согласно этой теории, множество - это нечто, удовлетворяющее аксиомам, например, следующим .

Записи аксиом дублируются на "языке кванторов". Вот значения используемых кванторов:
- для любого ;
- существует ;
- существует единственный ;
- является множеством;
- множество тех и только тех , которые удовлетворяют условию ;
- логическое "или";
- логическое "и".

1. Аксиома объемности . Множество определяется своими элементами: множества, состоящие из одних и тех же элементов, равны.

2. Аксиома объединения . Объединение всех элементов множества есть множество.

3. Аксиома выделения . Для каждого множества и каждого условия существует множество

Подмножество элементов множества , удовлетворяющих условию .

Другими словами, мы не можем взять множество всех летающих крокодилов со всего мира или множество тех множеств, которые не содержат сами себя, а можем, взяв некоторое множество, выделить в нем "кусочек" - множество его элементов, удовлетворяющих некоторому условию.

4. Аксиома степени . Множество всех подмножеств данного множества есть множество.

5. Аксиома подстановки . Пусть - множество, а - произвольная формула. Тогда если для каждого существует и единственен , такой что истинно , то существует множество всех , для которых найдется , такой что истинно.

6. Аксиома фундирования . Не существует бесконечной последовательности вложенных множеств: каждая цепочка множеств

7. Аксиома бесконечности . Существуют бесконечные множества, т. е. такие множества , что равномощно .

8. Аксиома выбора . Еще одна очень сложная, но и очень очевидная аксиома - о ней позже.

Подробнее об аксиоматике теории множеств см. книгу .

Понять, несостоятельность, данного "парадокса" брадобрея, можно на примере, взятого для этого, живого, человеческого тела. Представте, что каждый из каких-либо органов человеческого тела, и каждая из его при этом конечностей, являются при этом общим множеством всех множеств, а по отдельности, каждый из органов этого человеческого тела, и каждая из частей его конечностей, являются при этом подмножествами друг друга. В этом случае, если таковое, вышеописанное, при этом представить, становится ясным тот факт, исходя из которого, тот самый брадобрей, из "парадокса" брадобрея, связан со всем вселенским, присутствующим миром, в котором он при этом обитает, с ним вместе, воедино, и он не может при этом, быть полностью отделен от него, таким же в точности образом, каким не могут быть отделяемы при этом друг от друга, все органы живого человеческого тела, и его какие-либо конечности, для того, что бы данный живой человеческий организм, мог оставаться при этом таковым живым, и полноценно функцианирующим организмом, исходя из существующих законов науки, и при его обитании в этом вселенском мире, этот брадобрей тесно связан с этим вселеским миром, в одну с ним существующую общую конструкцию. И он этот брадобрей при этом, образует подмножество, с множеством множеств, присутствующих во всем мире вселенной. Исходя из чего, у этого брадобрея, всегда существует, возможный быть действенным шанс, исходя из которого он и неможет неуйти, в какой то момент, из того населенного пункта, в котором он при этом проживает, в другой какой-либо населенный пункт, и успеть быть в этом населенном пункте, куда он при этом и ушел, побритым находящимся в том населенном пункте, в точности похожим на него, не могущим брить при этом самого себя, брадобреем. И причем, его этот уход в этот населенный пункт, косвенно, является при этом его действием, и приведшим его к тому, что он и был, сам при этом побритым, подобным ему брадобреем, и находящимся при этом в этом населенном пункте, в который он и пришел при этом, которого, этого другого брадобрея, этот пришедший туда брадобрей, конечно же и сам, так же может при этом побрить. Но так как, орудие, при помощи которого нужно быть побритым этому брадобрею, было отличным от его собственных при этом рук, то оно от этого, все равно, не перестанет являться таковым его орудием, и приведшим к тому, что он при этом, и стал быть таковым выбритым брадобреем. А посему это означает, что этот брадобрей, если не будет сам себя брить при этом своими руками, то он может при этом сделать это, при помощи какого-либо другого, существующего, имеющегося у него самого какого-либо способа, орудия, а значит он этим и побреет самого себя. Потому что он с другим, пришедшим к нему, из другого населенного пункта брадобреем, связан воедино, тем вселенским миром, в котором они вместе с ним при этом и проживают!!! Подобным же образом, разгадывается и "парадокс" теоремы Гёделя, о неполноте множества всех множеств!!! А посему, данный "парадокс" брадобрея, похож по его сути на ситуацию, исходя из которой, необходимо, встретившимся двум вместе людям, сварить при этом суп, в котором они оба вместе при этом нуждаются, но при этом у одного человека для этого, есть почти все необходимые нужные для варки продукты, кроме при этом воды, но у него при этом нет емкости нужной для этой варки супа, и очага, на котором можно было бы, производить при этом эту варку супа, а у другого, одного из двух этих человек, человека, при этом, напротив есть и вода, и очаг, и емкость, нужные для варки этого супа, но при этом у него, нет остальных продуктов, необходимых при этом, для варки этого супа. И тогда второй этот человек, дал первому этому человеку имеющиеся у него при этом, воду, очаг, и емкость, нужные для варки при этом этого супа, а первый же этот человек, дал второму этому человеку при этом, остальные, нужные для варки этого супа продукты, и тем самым они и смогли сварить вместе, нужный им обоим суп, который они вместе, и употребили при этом в их пищу... Так же, существует ещё и второй вариант правильного решения, разгадки, этого "парадокса брадобрея", исходя из которого, сам этот брадобрей так же сможет собственноручно себя побрить, не нарушив этим отданных ему мэром города приказаний! Вот этот второй вариант разгадки "парадокса брадобрея": брадобрей - либо бреет себя сам, тогда когда он сам себя бреет, либо же он не бреет себя сам, тогда когда он сам себя не бреет, потому как он не может сразу же и брить и не брить себя сам. По этой причине, для того что бы смочь начать брить себя самому, нужно не на словах а на деле, начать реальным, физическим образом это делать, а не начав же ещё себя самому брить в реальности - это и значит то, что не брить себя самому в этот самый момент, а значит тем самым и мочь попытаться начать себя самому брить, не нарушив этим первого приказания отданного ему мэром города (брить всех тех, и лишь только тех, которые не бреются сами). Тем самым доказывается возможность начала в реальности бритья себя самим, этого брадобрея, раз начать он может в реальности бриться, и само начало в реальности его этого бритья, начнёт происходить лишь в тот самый момент, когда он сможет сбрить на своей бороде, хотя бы микроскопическую часть от одного из множества волосков на ней, для начала бритья которой, он в реальности не нарушит первого приказания отданного ему мэром города (брить всех тех, и лишь только тех, которые не бреются сами), раз становиться тем брадобреем который бреет себя сам, он может не сразу, а лишь в момент сбривания хотя бы малой части от одного из волосков на его бороде, и нарушать второе приказание отданное ему мэром города (не брить всех тех которые бреются сами), поэтому он и не может этой его попыткой начала бритья себя самого, потому что логически верным: считается всякий новый раз не знание брадобреем для себя самого, может, сможет, он в каждый, новый будущий раз, мочь, и смочь, сам себя брить, и начать сам себя брить, или же он не не может и не сможет этого сделать, а незнающий полностью о себе самом брадобрей, на перёд, собственных его возможностей как в умении брить себя самого, так и наоборот не в умении брить себя самого, не может считаться по этой причине сразу же заранее, тем брадобреем, про которого известно то, что он сам себя бреет, и может, сможет, сам себя побрить! Когда же этот "незнающий сам себя" брадобрей, сбреет уже, хотя бы одну малую часть, от одного из волосков, на своей бороде, он только в этот момент, сумеет понять о себе то, что он смог сам себя всё таки брить, но он не нарушит этим в этот момент, второе приказание отданное ему мэром города (не брить всех тех которые бреются сами), раз он о себе, не знал, и никогда не знает наперёд, сможет он сам себя брить всегда в будущем, или же не сможет он этого делать, а это незнание им своих собственных будущих возможностей, и делает собой его брадобреем, не нарушившим это второе приказание мэра, исходя из которого, он не должен брить всех тех которые бреются сами, и поэтому поняв о себе самом то, что он начал брить себя сам, он в этот момент, просто соблюдая это второе правило, запрещающее ему брить всех тех которые бреются сами, остановится на мгновение в своём бритье себя самого, и перестанет брить себя сам этим, и тут же поняв то, что он обязан вновь начать исполнять первое отданное ему мэром приказание, а то есть, приказание о его обязанности бритья всех тех, и лишь только тех, которые не бреются сами, попытается начать, что бы его не нарушать, вновь брить себя сам, и далее эти циклы его то остановки в собственном бритье, то вновь начало этого бритья, будут продолжаться до тех пор, пока он полностью не сбреет всю свою бороду, тем самым он и сумеет сам собственноручно, сбрить полностью всю свою бороду, не нарушив приказания данные ему мэром города!!! В этом и состоит другой вариант разгадки этого "парадокса брадобрея"!!!

Брадобрей бреет тех и только тех, кто не бреется сам,
побреет ли себя брадобрей?

Ответ: Брадобрей будет исполнять акт бритья до тех
пор, пока он сам не поймет, что его совершает. например
состриг хотя бы один волос. Т.е. произошел какой то
рзультат, оценив который, брадобрей сможет сделать
логический вывод, бреется он или нет. После чего он
прекратит бритье по флагу и когда до него дойдет тот
факт, что в данный момент он не бреется, он повторит
свои действия. в результате, скорость бритья будет
зависеть от той скорости, с которой брадобрей сам
работает как аналитическая система. А в итоге, решение
парадокса будет во времени, т.е. бреется не бреется,
бреется не бреется, и т.д. т.е цикл, а по
нашему-генератор.

Значит Брадобрей в результате побреется?

Зависит о критерия истинности для термина бриться (в
задаче он не указан, вследствие чего задача не
корректно поставлена).

поэтому я позволил себе его установить, чтобы задача
имела решение и ввести определение "бреется"
факт бритья есть состригание одного волоса в момент
времени t1-t2.

копипаст с другого форума:

"Давайте уж расставим все точки над Ё!"
Ну факт истинности бритья это конечно круто! А кто его собственно будет устанавливать???"

Сам брадобрей естесственно!
Ведь он сам для себя определяет, выполняет он условие задачи в данный момент времени или нет.
Если он не бреется в данный момент, то он спокойненько может приступать к бритью. В этот момент он для себя не является брадобреем.
В условии не сказано, что запрещено начинать процедуру бритья или быть выбритым.
Ему нельзя иметь факт осознания им самим процесса бритья, иначе он нарушит условие.
Т.е. если он его не сможет осознать, то условие задачи он НЕ нарушает!
И в его системе отсчета по закону исключенного третьего этого произойти не может.

Поскольку он просто не успеет осознать действие состригания волоса в момент времени т1-т2.

Получиться, что действие произошло, а брадобрей не виноват. Да, он осознает, что свершил акт бритья, но ведь в момент времени, когда он его еще не совершал, он имел полное право начать процедуру бритья по условию! Он же не был брадобреем в своей ИСО. А когда сбрил, его совесть опять чиста, потому что он опять себя не бреет. А сам факт действия бритья в его ИСО вообще не определен.
С точки зрения любого жителя деревни, брадобрей тоже условия не нарушал, потому что все, что он делал в столь малый интервал времени не определяется из их ИСО и подавно. Им обоим виден только результат: был не брит, а теперь он побритый.

Если взять "скоростного брадобрея", который способен будет определить факт своего бритья в момент состригания половины волоса, то он просто остановится, чтобы условие не нарушать, и тут же продолжит бритье, поскольку опять перестанет быть брадобреем.

В любом случае, брадобрей будет выбрит и осознание того, что он таки нарушил условие, к нему так и не придет, несмотря на постфактум.

Вот вам же не приходит в голову, что тело движется прямолинейно и равноускоренно в вакууме не просто так постфактум? Вы воспринимаете это как должное чудо, правда? опаньки! Тело переместилось, энергия не затратилась, а кто его переместил? Кто энергию потратил?
Так же и брадобрей будет поставлен перед фактом. Опаньки! Пабрилси! Как так получилось? Это, конечно, если у него память отшибло и он не помнит, что делал мнгновение назад.

А в случае с 1-м законом Ньютона, просто не вы это делаете, вот и все.

И только за счет того, что брадобрей помнит, что он делал мгновение назад, а также, что он был не побрит, он может сделать ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ дедуктивное, что побрился он сам и что условие он нарушил.
Факта бритя установить не удалось, но определенно он был.
Применяем закон логики инверсии причинности:
дедуктивный вывод превращается в индуктивный в случае доказательства, что другого дедуктивного вывода не может быть, а его не может быть, рядом то никого не было, следовательно брадобрей сам побрился, а не чудо его побрило, и факт нарушения установлен уже индуктивно.
(Попрошу вот этот момент прочувствовать, т.к. я вам здесь показал, как работает закон инверсии причинности для понятия индукции и дедукции, где еще смогу показать)

Но это опять не нарушает условия задачи, поскольку в задаче ничего не сказано о том, должен ли брадобрей страдать от этого постфактум. Там был вопрос побреется или не побреется.

Даже если брадобрей сделает вывод о том, что он нарушает условие после факта сбривания одного волоса, и что попытка побриться снова, приведет его к следующему нарушению условия задачи, то это опять ничего не меняет, поскольку в задаче не было указания учитывать отрицательные обратные связи во времени, т.е. по умолчанию, мы ими пренебрегаем по условию.

"Наблюдатель? Это еще одно ИСО. "

Задача ведь ставится для брадобрея, а не для какого то там стороннего наблюдателя, который может померить процедуру сбривания одного волоса расквантовав это действие еще болеее детально чем брадобрей на составляющие в другой ИСО (замедленная съемка), осознать процесс сбривания половины волоса и сказать, что брадобрей нарушает условие. Ну да, с его позиции брадобрей его нарушит, но это не противоречит условию задачи.

А не ее противоречивость.

Антиномия Рассела формулируется следующим образом:

Пусть K - множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли K само себя в качестве элемента? Если да, то, по определению K , оно не должно быть элементом K - противоречие. Если нет - то, по определению K , оно должно быть элементом K - вновь противоречие.

Противоречие в антиномии Рассела возникает из-за использования в рассуждении понятия множества всех множеств и представления о возможности неограниченного применения законов классической логики при работе с множествами. Для преодоления этой антиномии было предложено несколько путей. Наиболее известный состоит в предъявлении для теории множеств непротиворечивой формализации , по отношению к которой являлись бы допустимыми все «действительно нужные» (в некотором смысле) способы оперирования с множествами. В рамках такой формализации утверждение о существовании множества всех множеств было бы невыводимым.

Действительно, допустим, что множество U всех множеств существует. Тогда, согласно аксиоме выделения , должно существовать и множество K , элементами которого являются те и только те множества, которые не содержат себя в качестве элемента. Однако предположение о существовании множества K приводит к антиномии Рассела. Следовательно, ввиду непротиворечивости теории , утверждение о существовании множества U невыводимо в этой теории, что и требовалось доказать.

В ходе реализации описанной программы «спасения» теории множеств было предложено несколько возможных её аксиоматизаций (теория Цермело - Френкеля ZF, теория Неймана - Бернайса - Гёделя NBG, и т. д.), однако ни для одной из этих теорий до настоящего момента не найдено доказательства непротиворечивости. Более того, как показал Гёдель, разработав ряд теорем о неполноте , такого доказательства не может существовать (в некотором смысле).

Другой реакцией на открытие парадокса Рассела явился интуиционизм Л. Э. Я. Брауэра .

Ошибочно считают, что этот парадокс демонстрирует противоречивость теории множеств Г.Кантора. Для опровержения этих взглядов Н. Вавилов приводит следующий парадокс - "Парадокс Пиглета":

Пусть n - такое целое число, которое одновременно больше и меньше нуля. Тогда n в том и только том случае является положительным, когда оно является отрицательным.

Очевидно, что из него следует лишь несуществование предположенного нами числа n , а не противоречивость теории чисел в целом - этот же метод используется в доказательствах от противного.

Структура данного парадокса идентична структуре парадокса Рассела, что позволяет делать выводы лишь о противоречивости понятия "множество всех множеств", но не теории множеств в целом.

Варианты формулировок

Существует много популярных формулировок этого парадокса. Одна из них традиционно называется парадоксом брадобрея и звучит так:

Одному деревенскому брадобрею приказали «брить всякого, кто сам не бреется, и не брить того, кто сам бреется» , как он должен поступить с собой?

Еще один вариант:

В одной стране вышел указ: «Мэры всех городов должны жить не в своем городе, а в специальном Городе мэров» , где должен жить мэр Города мэров?

И ещё один:

Некая библиотека решила составить библиографический каталог, в который входили бы все те и только те библиографические каталоги, которые не содержат ссылок на самих себя. Должен ли такой каталог включать ссылку на себя?

Литература

• Р. Курант , Г. Роббинс . Что такое математика? гл. II, § 4.5
• Мирошниченко П.Н. Что же разрушал парадокс Рассела в системе Фреге? // Современная логика:проблемы теории,истории и применения в науке. СПб.,2000. С.512-514.
• Катречко С.Л. Расселовский парадокс брадобрея и диалектика Платона -Аристотеля //Современная логика:проблемы теории,истории и применения в науке. СПб.,2002. С.239-242.

Примечания

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Парадокс брадобрея" в других словарях:

Парадокс Рассела открытый в 1901 году Бертраном Расселом и позднее независимо переоткрытый Э. Цермело теоретико множественный парадокс, демонстрирующий противоречивость логической системы Фреге, являвшейся ранней попыткой формализации… … Википедия

Парадокс Рассела открытая в 1903 году Бертраном Расселом и позднее независимо переоткрытая Э. Цермело теоретико множественная антиномия, демонстрирующая несовершенство языка наивной теории множеств Г. Кантора, а не ее противоречивость. Антиномия… … Википедия

Математику обычно определяют, перечисляя названия некоторых из ее традиционных разделов. Прежде всего, это арифметика, которая занимается изучением чисел, отношений между ними и правил действий над числами. Факты арифметики допускают различные… … Энциклопедия Кольера

Уроборос «Змей, пожирающий сам себя». Самореференция (самоотносимость) явление, которое возникает в системах высказываний в тех случаях, когда некое понятие ссылается само на себя. Иначе говоря, если какое либо … Википедия

- … Википедия

Служебный список статей, созданный для координации работ по развитию темы. Данное предупреждение не устанавливается на информационные статьи списки и глоссари … Википедия