Мы уже говорили, что дроби бывают обыкновенные и десятичные . На данный момент мы немного изучили обыкновенные дроби. Мы узнали, что обыкновенные дроби бывают правильные и неправильные. Также мы узнали, что обыкновенные дроби можно сокращать, складывать, вычитать умножать и делить. И ещё мы узнали, что бывают так называемые смешанные числа, которые состоят из целой и дробной части.
Мы ещё не до конца изучили обыкновенные дроби. Есть немало тонкостей и деталей, о которых следует поговорить, но уже сегодня мы начнём изучать десятичные дроби, поскольку обыкновенные и десятичные дроби достаточно часто приходится сочетать. То есть при решении задач приходиться работать с обеими видов дробей.
Этот урок возможно покажется сложным и непонятным. Это вполне нормально. Такого рода уроки требуют, чтобы их именно изучали, а не просматривали поверхностно.
Содержание урокаВыражение величин в дробном виде
Иногда удобно бывает показать что-либо в дробном виде. Например, одна десятая часть дециметра записывается так:
Это выражение означает, что один дециметр был разделён на десять равных частей, и от этих десяти частей была взята одна часть. А одна часть из десяти в данном случае равна одному сантиметру:
Рассмотрим следующий пример. Показать 6 см и ещё 3 мм в сантиметрах в дробном виде.
Итак, требуется показать 6 см и 3 мм в сантиметрах, но в дробном виде. 6 целых сантиметров у нас уже есть:
Но осталось еще 3 миллиметра. Как показать эти 3 миллиметра, при этом в сантиметрах? На помощь приходят дроби. Один сантиметр это десять миллиметров. Три миллиметра это три части из десяти. А три части из десяти записываются как см
Выражение см означает, что один сантиметр был разделён на десять равных частей, и от этих десяти частей взяли три части.
В результате имеем шесть целых сантиметров и три десятых сантиметра:
При этом 6 показывает число целых сантиметров, а дробь — число дробных. Эта дробь читается как «шесть целых и три десятых сантиметра» .
Дроби, в знаменателе которых присутствуют числа 10, 100, 1000 можно записывать без знаменателя. Сначала пишут целую часть, а потом числитель дробной части. Целая часть отделяется от числителя дробной части запятой.
Например, запишем без знаменателя. Сначала записываем целую часть. Целая часть это 6
Целая часть записана. Сразу же после написания целой части ставим запятую:
И теперь записываем числитель дробной части. В смешанном числе числитель дробной части это число 3. Записываем после запятой тройку:
Любое число, которое представляется в таком виде, называется десятичной дробью .
Поэтому показать 6 см и ещё 3 мм в сантиметрах можно с помощью десятичной дроби:
6,3 см
Выглядеть это будет следующим образом:
На самом деле десятичные дроби это те же самые обыкновенные дроби и смешанные числа. Особенность таких дробей заключается в том, что в знаменателе их дробной части стоят числа 10, 100, 1000 или 10000.
Как и смешанное число, десятичная дробь имеет целую часть и дробную. Например, в смешанном числе целая часть это 6, а дробная часть это .
В десятичной дроби 6,3 целая часть это число 6, а дробная часть это числитель дроби , то есть число 3.
Бывает и так, что обыкновенные дроби в знаменателе которых числа 10, 100, 1000 даны без целой части. Например, дробь дана без целой части. Чтобы записать такую дробь как десятичную, сначала записывают 0, затем ставят запятую и записывают числитель дробной части. Дробь без знаменателя будет записана следующим образом:
Читается как «ноль целых, пять десятых» .
Перевод смешанных чисел в десятичные дроби
Когда мы записываем смешанные числа без знаменателя, мы тем самым переводим их в десятичные дроби. При переводе обыкновенных дробей в десятичные дроби нужно знать несколько моментов, о которых мы сейчас поговорим.
После того, как записана целая часть, обязательно нужно посчитать количество нулей в знаменателе дробной части, поскольку количество нулей дробной части и количество цифр после запятой в десятичной дроби должно быть одинаковым. Что это значит? Рассмотрим следующий пример:
Сначала
И можно бы сразу записать числитель дробной части и десятичная дробь готова, но обязательно нужно посчитать количество нулей в знаменателе дробной части.
Итак, считаем количество нулей в дробной части смешанного числа . В знаменателе дробной части один ноль. Значит в десятичной дроби после запятой будет одна цифра и это цифра будет числитель дробной части смешанного числа , то есть число 2
Таким образом, смешанное число при переводе в десятичную дробь обращается в 3,2.
Эта десятичная дробь читается так:
«Три целых, две десятых»
«Десятых» потому что в дробной части смешанного числа находится число 10.
Пример 2. Перевести смешанное число в десятичную дробь.
Записываем целую часть и ставим запятую:
И можно бы сразу записать числитель дробной части и получить десятичную дробь 5,3 но правило говорит, что после запятой должно быть столько цифр сколько нулей в знаменателе дробной части смешанного числа . А мы видим, что в знаменателе дробной части два нуля. Значит в нашей десятичной дроби после запятой должно быть две цифры, а не одна.
В таких случаях числитель дробной части нужно немного видоизменить: добавить ноль перед числителем, то есть перед числом 3
Теперь можно перевести это смешанное число в десятичную дробь. Записываем целую часть и ставим запятую:
И записываем числитель дробной части:
Десятичная дробь 5,03 читается так:
«Пять целых, три сотых»
«Сотых» потому что в знаменателе дробной части смешанного числа находится число 100.
Пример 3. Перевести смешанное число в десятичную дробь.
Из предыдущих примеров мы узнали, что для успешного перевода смешанного числа в десятичную дробь, количество цифр в числителе дробной части и количество нулей в знаменателе дробной части должно быть одинаковым.
Перед переводом смешанного числа в десятичную дробь, его дробную часть нужно немного видоизменить, а именно сделать так, чтобы количество цифр в числителе дробной части и количество нулей в знаменателе дробной части было одинаковым.
В первую очередь смотрим на количество нулей в знаменателе дробной части. Видим, что там три нуля:
Наша задача организовать в числителе дробной части три цифры. Одна цифра у нас уже есть — это число 2. Осталось добавить ещё две цифры. Ими будут два нуля. Добавим их перед число 2. В результате количество нулей в знаменателе и количество цифр в числителе станет одинаковым:
Теперь можно заняться переводом этого смешанного числа в десятичную дробь. Записываем сначала целую часть и ставим запятую:
и сразу записываем числитель дробной части
3,002
Видим, что количество цифр после запятой и количество нулей в знаменателе дробной части смешанного числа одинаково.
Десятичная дробь 3,002 читается так:
«Три целых, две тысячных»
«Тысячных» потому что в знаменателе дробной части смешанного числа находится число 1000.
Перевод обыкновенных дробей в десятичные дроби
Обыкновенные дроби, у которых в знаменателе числа 10, 100, 1000 или 10000, тоже можно перевести в десятичные дроби. Поскольку у обыкновенной дроби целая часть отсутствует, сначала записывают 0, затем ставят запятую и записывают числитель дробной части.
Здесь также количество нулей в знаменателе и количество цифр в числителе должно быть одинаковым. Поэтому следует быть внимательным.
Пример 1.
Целая часть отсутствует, значит сначала записываем 0 и ставим запятую:
Теперь смотрим на количество нулей в знаменателе. Видим, что там один ноль. И в числителе одна цифра. Значит можно спокойно продолжить десятичную дробь, записав после запятой число 5
В полученной десятичной дроби 0,5 количество цифр после запятой и количество нулей в знаменателе дроби одинаково. Значит дробь переведена правильно.
Десятичная дробь 0,5 читается так:
«Ноль целых, пять десятых»
Пример 2. Перевести обыкновенную дробь в десятичную дробь.
Целая часть отсутствует. Записываем сначала 0 и ставим запятую:
Теперь смотрим на количество нулей в знаменателе. Видим, что там два нуля. А в числителе только одна цифра. Чтобы сделать количество цифр и количество нулей одинаковым, добавим в числителе перед числом 2 один ноль. Тогда дробь примет вид . Теперь количество нулей в знаменателе и количество цифр в числителе одинаково. Значит можно продолжить десятичную дробь:
В полученной десятичной дроби 0,02 количество цифр после запятой и количество нулей в знаменателе дроби одинаково. Значит дробь переведена правильно.
Десятичная дробь 0,02 читается так:
«Ноль целых, две сотых».
Пример 3. Перевести обыкновенную дробь в десятичную дробь.
Записываем 0 и ставим запятую:
Теперь считаем количество нулей в знаменателе дроби . Видим, что там пять нулей, а в числителе только одна цифра. Чтобы сделать количество нулей в знаменателе и количество цифр в числителе одинаковым, нужно в числителе перед числом 5 дописать четыре нуля:
Теперь количество нулей в знаменателе и количество цифр в числителе одинаково. Значит можно продолжить десятичную дробь. Записываем после запятой числитель дроби
В полученной десятичной дроби 0,00005 количество цифр после запятой и количество нулей в знаменателе дроби одинаково. Значит дробь переведена правильно.
Десятичная дробь 0,00005 читается так:
«Ноль целых, пять стотысячных».
Перевод неправильных дробей в десятичную дробь
Неправильная дробь это дробь, у которой числитель больше знаменателя. Встречаются неправильные дроби, у которых в знаменателе находятся числа 10, 100, 1000 или 10000. Такие дроби можно переводить в десятичные дроби. Но перед переводом в десятичную дробь, у таких дробей необходимо выделять целую часть.
Пример 1.
Дробь является неправильной дробью. Чтобы перевести такую дробь в десятичную дробь, нужно в первую очередь выделить у нее целую часть. Вспоминаем, как выделять целую часть у неправильных дробей. Если забыли, советуем вернуться к и изучить его.
Итак, выделим целую часть в неправильной дроби . Напомним, что дробь означает деление — в данном случае деление числа 112 на число 10
Посмотрим на этот рисунок и соберём новое смешанное число, подобно детскому конструктору. Число 11 будет целой частью, число 2 — числителем дробной части, число 10 — знаменателем дробной части.
Мы получили смешанное число . Его и переведём в десятичную дробь. А как переводить такие числа в десятичные дроби мы уже знаем. Сначала записываем целую часть и ставим запятую:
Теперь считаем количество нулей в знаменателе дробной части. Видим, что там один ноль. И в числителе дробной части одна цифра. Значит количество нулей в знаменателе дробной части и количество цифр в числителе дробной части одинаково. Это даёт нам возможность сразу записать числитель дробной части после запятой:
В полученной десятичной дроби 11,2 количество цифр после запятой и количество нулей в знаменателе дроби одинаково. Значит дробь переведена правильно.
Значит неправильная дробь при переводе в десятичную дробь обращается в 11,2
Десятичная дробь 11,2 читается так:
«Одиннадцать целых, две десятых».
Пример 2. Перевести неправильную дробь в десятичную дробь.
Это неправильная дробь, поскольку числитель больше знаменателя. Но её можно перевести в десятичную дробь, поскольку в знаменателе находится число 100.
В первую очередь выделим целую часть этой дроби. Для этого разделим 450 на 100 уголком:
Соберём новое смешанное число — получим . А как переводить смешанные числа в десятичные дроби мы уже знаем.
Записываем целую часть и ставим запятую:
Теперь считаем количество нулей в знаменателе дробной части и количество цифр в числителе дробной части. Видим, что количество нулей в знаменателе и количество цифр в числителе одинаково. Это даёт нам возможность сразу записать числитель дробной части после запятой:
В полученной десятичной дроби 4,50 количество цифр после запятой и количество нулей в знаменателе дроби одинаково. Значит дробь переведена верно.
Значит неправильная дробь при переводе в десятичную дробь обращается в 4,50
При решении задач, если в конце десятичной дроби оказываются нули, их можно отбросить. Давайте и мы отбросим ноль в нашем ответе. Тогда мы получим 4,5
Это одна из интересных особенностей десятичных дробей. Она заключается в том, что нули которые стоят в конце дроби, не придают этой дроби никакого веса. Другими словами, десятичные дроби 4,50 и 4,5 равны. Поставим между ними знак равенства:
4,50 = 4,5
Возникает вопрос: а почему так происходит? Ведь на вид 4,50 и 4,5 разные дроби. Весь секрет кроется в основном свойстве дроби, котором мы изучали ранее. Мы попробуем доказать, почему равны десятичные дроби 4,50 и 4,5, но после изучения следующей темы, которая называется «перевод десятичной дроби в смешанное число».
Перевод десятичной дроби в смешанное число
Любая десятичная дробь может быть обратно переведена в смешанное число. Для этого достаточно уметь читать десятичные дроби. Например, переведём 6,3 в смешанное число. 6,3 это шесть целых и три десятых. Записываем сначала шесть целых:
и рядом три десятых:
Пример 2. Перевести десятичную дробь 3,002 в смешанное число
3,002 это три целых и две тысячных. Записываем сначала три целых
и рядом записываем две тысячных:
Пример 3. Перевести десятичную дробь 4,50 в смешанное число
4,50 это четыре целых и пятьдесят сотых. Записываем четыре целых
и рядом пятьдесят сотых:
Кстати, давайте вспомним последний пример из предыдущей темы. Мы сказали, что десятичные дроби 4,50 и 4,5 равны. Также мы сказали, что ноль можно отбросить. Попробуем доказать, что десятичные 4,50 и 4,5 равны. Для этого переведем обе десятичные дроби в смешанные числа.
После перевода в смешанное число десятичная дробь 4,50 обращается в , а десятичная дробь 4,5 обращается в
Имеем два смешанных числа и . Переведём эти смешанные числа в неправильные дроби:
Теперь имеем две дроби и . Настало время вспомнить основное свойство дроби, которое говорит, что при умножении (или делении) числителя и знаменателя дроби на одно и то же число, значение дроби не изменяется.
Давайте разделим первую дробь на 10
Получили , а это вторая дробь. Значит и равны между собой и равны одному и тому же значению:
Попробуйте на калькуляторе разделить сначала 450 на 100, а затем 45 на 10. Забавная штука получится.
Перевод десятичной дроби в обыкновенную дробь
Любая десятичная дробь может быть обратно переведена в обыкновенную дробь. Для этого опять же достаточно уметь читать десятичные дроби. Например, переведём 0,3 в обыкновенную дробь. 0,3 это ноль целых и три десятых. Записываем сначала ноль целых:
и рядом три десятых 0 . Ноль по традиции не записывают, поэтому окончательный ответ будет не 0, а просто .
Пример 2. Перевести десятичную дробь 0,02 в обыкновенную дробь.
0,02 это ноль целых и две сотых. Ноль по не записываем, поэтому сразу записываем две сотых
Пример 3. Перевести 0,00005 в обыкновенную дробь
0,00005 это ноль целых и пять сто тысячных. Ноль не записываем, поэтому сразу записываем пять сто тысячных
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Тема: Десятичные дроби. Сложение и вычитание десятичных дробей
Урок: Десятичная запись дробных чисел
Знаменатель дроби может быть выражен любым натуральным числом. Дробные числа, в которых знаменатель выражен числом 10; 100; 1000;…, где n , условились записывать без знаменателя. Любое дробное число, в знаменателе которого 10; 100; 1000 и т.д. (то есть единица с несколькими нулями), можно представить в виде десятичной записи (в виде десятичной дроби). Сначала пишут целую часть, затем числитель дробной части, и целую часть от дробной отделяют запятой.
Например,
Если целая часть отсутствует, т.е. дробь правильная, тогда целую часть записывают в виде 0.
Чтобы правильно записать десятичную дробь, числитель дробной части должен иметь столько же знаков, сколько нулей в дробной части.
1. Запишите в виде десятичной дроби.
2. Представить десятичную дробь в виде дроби или смешанного числа.
3. Прочитайте десятичные дроби.
12,4 - 12 целых 4 десятых;
0,3 - 0 целых 3 десятых;
1,14 - 1 целая 14 сотых;
2,07 - 2 целых 7 сотых;
0,06 - 0 целых 6 сотых;
0,25 - 0 целых 25 сотых;
1,234 - 1 целая 234 тысячных;
1,230 - 1 целая 230 тысячных;
1,034 - 1 целая 34 тысячных;
1,004 - 1 целая 4 тысячных;
1,030 - 1 целая 30 тысячных;
0,010101 - 0 целых 10101 миллионных.
4. Перенесите запятую в каждой цифре на 1 разряд влево и прочитайте числа.
34,1; 310,2; 11,01; 10,507; 2,7; 3,41; 31,02; 1,101; 1,0507; 0,27.
5. Перенесите запятую в каждом из чисел на 1 разряд вправо и прочитайте получившееся число.
1,37; 0,1401; 3,017; 1,7; 350,4; 13,7; 1,401; 30,17; 17; 3504.
6. Выразите в метрах и сантиметрах.
3,28 м = 3 м + .
7. Выразите в тоннах и килограммах.
24,030 т = 24 т .
8. Запишите в виде десятичной дроби частное.
1710: 100 = ;
64: 10000 =
803: 100 =
407: 10 =
9. Выразите в дм.
5 дм 6 см = 5 дм + ;
9 мм =
Конечные десятичные дроби |
Умножение и деление десятичных дробей на 10, 100, 1000, 10000 и т.д. |
Обращение конечной десятичной дроби в простую дробь |
Десятичные дроби делятся на три следующих класса: конечные десятичные дроби, бесконечные периодические десятичные дроби и бесконечные непериодические десятичные дроби.
Конечные десятичные дроби
Определение . Конечной десятичной дробью (десятичной дробью) называют дробь или смешанное число , имеющее знаменатель 10 , 100 , 1000 , 10000 и т.д.
Например,
К десятичным дробям относят также и такие дроби, которые можно привести к дробям, имеющим знаменатель 10 , 100 , 1000 , 10000 и т.д., с помощью основного свойства дробей .
Например,
Утверждение . Несократимая простая дробь или несократимое смешанное нецелое число являются конечной десятичной дробью тогда и только тогда, когда разложение их знаменателей на простые множители содержит в качестве множителей лишь числа 2 и 5 , причем в произвольных степенях.
Для десятичных дробей существует специальный способ записи , использующий запятую. Слева от запятой записывается целая часть дроби, а справа - числитель дробной части, перед которым дописывается такое количество нулей, чтобы число цифр после запятой было равно числу нулей в знаменателе десятичной дроби.
Например,
Заметим, что десятичная дробь не изменится, если приписать несколько нулей справа или слева от неё.
Например,
3,14 = 3,140 =
=
3,1400 = 003,14 .
Цифры, стоящие перед запятой (слева от запятой) в десятичной записи конечной десятичной дроби , образуют число, которое называют целой частью десятичной дроби .
Цифры, стоящие после запятой (справа от запятой) в десятичной записи конечной десятичной дроби, называют десятичными знаками .
В конечной десятичной дроби конечное число десятичных знаков. Десятичные знаки формируют дробную часть десятичной дроби .
Умножение и деление десятичных дробей на 10, 100, 1000 и т.д.
Для того, чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000, 10000 и т.д. , достаточно перенести запятую вправо на 1, 2, 3, 4 и т.д. десятичных знаков соответственно.
Помните, как в самом первом уроке про десятичные дроби я говорил, что существуют числовые дроби, не представимые в виде десятичных (см. урок «Десятичные дроби »)? Мы еще учились раскладывать знаменатели дробей на множители, чтобы проверить, нет ли там чисел, отличных от 2 и 5.
Так вот: я наврал. И сегодня мы научимся переводить абсолютно любую числовую дробь в десятичную. Заодно познакомимся с целым классом дробей с бесконечной значащей частью.
Периодическая десятичная дробь - это любая десятичная дробь, у которой:
- Значащая часть состоит из бесконечного количества цифр;
- Через определенные интервалы цифры в значащей части повторяются.
Набор повторяющихся цифр, из которых состоит значащая часть, называется периодической частью дроби, а количество цифр в этом наборе - периодом дроби. Остальной отрезок значащей части, который не повторяется, называется непериодической частью.
Поскольку определений много, стоит подробно рассмотреть несколько таких дробей:
Эта дробь встречается в задачах чаще всего. Непериодическая часть: 0; периодическая часть: 3; длина периода: 1.
Непериодическая часть: 0,58; периодическая часть: 3; длина периода: снова 1.
Непериодическая часть: 1; периодическая часть: 54; длина периода: 2.
Непериодическая часть: 0; периодическая часть: 641025; длина периода: 6. Для удобства повторяющиеся части отделены друг от друга пробелом - в настоящем решении так делать не обязательно.
Непериодическая часть: 3066; периодическая часть: 6; длина периода: 1.
Как видите, определение периодической дроби основано на понятии значащей части числа . Поэтому если вы забыли что это такое, рекомендую повторить - см. урок « ».
Переход к периодической десятичной дроби
Рассмотрим обыкновенную дробь вида a /b . Разложим ее знаменатель на простые множители. Возможны два варианта:
- В разложении присутствуют только множители 2 и 5. Эти дроби легко приводятся к десятичным - см. урок «Десятичные дроби ». Такие нас не интересуют;
- В разложении присутствует что-то еще, кроме 2 и 5. В этом случае дробь непредставима в виде десятичной, зато из нее можно сделать периодическую десятичную дробь.
Чтобы задать периодическую десятичную дробь, надо найти ее периодическую и непериодическую часть. Как? Переведите дробь в неправильную, а затем разделите числитель на знаменатель «уголком».
При этом будет происходить следующее:
- Сначала разделится целая часть , если она есть;
- Возможно, будет несколько чисел после десятичной точки;
- Через некоторое время цифры начнут повторяться .
Вот и все! Повторяющиеся цифры после десятичной точки обозначаем периодической частью, а то, что стоит спереди - непериодической.
Задача. Переведите обыкновенные дроби в периодические десятичные:
Все дроби без целой части, поэтому просто делим числитель на знаменатель «уголком»:
Как видим, остатки повторяются. Запишем дробь в «правильном» виде: 1,733 ... = 1,7(3).
В итоге получается дробь: 0,5833 ... = 0,58(3).
Записываем в нормальном виде: 4,0909 ... = 4,(09).
Получаем дробь: 0,4141 ... = 0,(41).
Переход от периодической десятичной дроби к обыкновенной
Рассмотрим периодическую десятичную дробь X = abc (a 1 b 1 c 1). Требуется перевести ее в классическую «двухэтажную». Для этого выполним четыре простых шага:
- Найдите период дроби, т.е. подсчитайте, сколько цифр находится в периодической части. Пусть это будет число k ;
- Найдите значение выражения X · 10 k . Это равносильно сдвигу десятичной точки на полный период вправо - см. урок «Умножение и деление десятичных дробей »;
- Из полученного числа надо вычесть исходное выражение. При этом периодическая часть «сжигается», и остается обычная дробь ;
- В полученном уравнении найти X . Все десятичные дроби переводим в обыкновенные.
Задача. Приведите к обыкновенной неправильной дроби числа:
- 9,(6);
- 32,(39);
- 0,30(5);
- 0,(2475).
Работаем с первой дробью: X = 9,(6) = 9,666 ...
В скобках содержится лишь одна цифра, поэтому период k = 1. Далее умножаем эту дробь на 10 k = 10 1 = 10. Имеем:
10X = 10 · 9,6666 ... = 96,666 ...
Вычитаем исходную дробь и решаем уравнение:
10X
− X
= 96,666 ... − 9,666 ... = 96 − 9 = 87;
9X
= 87;
X
= 87/9 = 29/3.
Теперь разберемся со второй дробью. Итак, X = 32,(39) = 32,393939 ...
Период k = 2, поэтому умножаем все на 10 k = 10 2 = 100:
100X = 100 · 32,393939 ... = 3239,3939 ...
Снова вычитаем исходную дробь и решаем уравнение:
100X
− X
= 3239,3939 ... − 32,3939 ... = 3239 − 32 = 3207;
99X
= 3207;
X
= 3207/99 = 1069/33.
Приступаем к третьей дроби: X = 0,30(5) = 0,30555 ... Схема та же самая, поэтому я просто приведу выкладки:
Период k = 1 ⇒ умножаем все на 10 k = 10 1 = 10;
10X
= 10 · 0,30555 ... = 3,05555 ...
10X
− X
= 3,0555 ... − 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9X
= 11/4;
X
= (11/4) : 9 = 11/36.
Наконец, последняя дробь: X = 0,(2475) = 0,2475 2475 ... Опять же, для удобства периодические части отделены друг от друга пробелами. Имеем:
k
= 4 ⇒ 10 k
= 10 4 = 10 000;
10 000X
= 10 000 · 0,2475 2475 = 2475,2475 ...
10 000X
− X
= 2475,2475 ... − 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X
= 2475;
X
= 2475: 9999 = 25/101.
Имеется иное представление рационального числа 1/2, отличное от представлений вида 2/4, 3/6, 4/8 и т. д. Мы подразумеваем представление в виде десятичной дроби 0,5. Одни дроби имеют конечные десятичные представления, например,
в то время как десятичные представления других дробей бесконечны:
Эти бесконечные десятичные дроби можно получить из соответствующих рациональных дробей, деля числитель на знаменатель. Например, в случае дроби 5/11, деля 5,000... на 11, получаем 0,454545...
Какие рациональные дроби имеют конечные десятичные представления? Прежде чем ответить на этот вопрос в общем случае, рассмотрим конкретный пример. Возьмем, скажем, конечную десятичную дробь 0,8625. Мы знаем, что
и что любая конечная десятичная дробь может быть записана в виде рациональной десятичной дроби со знаменателем, равным 10, 100, 1000 или какой-либо другой степени 10.
Приводя дробь справа к несократимой дроби, получаем
Знаменатель 80 получен делением 10 000 на 125 - наибольший общий делитель 10 000 и 8625. Поэтому в разложение на простые множители числа 80, как и числа 10 000, входят только два простых множителя: 2 и 5. Если бы мы начинали не с 0,8625, а с любой другой конечной десятичной дроби, то получившаяся несократимая рациональная дробь тоже обладала бы этим свойством. Иначе говоря, в разложение знаменателя b на простые множители могли бы входить лишь простые числа 2 и 5, поскольку b есть делитель некоторой степени 10, а . Это обстоятельство оказывается определяющим, а именно имеет место следующее общее утверждение:
Несократимая рациональная дробь имеет конечное десятичное представление тогда и только тогда, когда число b не имеет простых делителей, личных от 2 и 5.
Отметим, что при этом b не обязано иметь среди своих простых делителей оба числа 2 и 5: оно может делиться лишь на одно из них или не делиться на них вовсе. Например,
здесь b соответственно равно 25, 16 и 1. Существенным является отсутствие у b других делителей, отличных от 2 и 5.
Сформулированное выше предложение содержит выражение тогда и только тогда. До сих пор мы доказали лишь ту часть, которая относится к обороту только тогда. Именно мы показали, что разложение рационального числа в десятичную дробь будет конечным лишь в том случае, когда b не имеет простых делителей, отличных от 2 и 5.
(Иными словами, если b делится на простое число, отличное от 2 и 5, то несократимая дробь не имеет конечного десятичного выражения.)
Та часть предложения, которая относится к слову тогда, утверждает, что если целое число b не имеет f других простых делителей, кроме 2 и 5, то несократимая рациональная дробь может быть представлена конечной десятичной дробью. Чтобы это доказать, мы должны взять произвольную несократимую рациональную дробь , у которой b не имеет других простых делителей, кроме 2 и 5, и убедиться в том, что соответствующая ей десятичная дробь конечна. Рассмотрим сначала пример. Пусть
Для получения десятичного разложения преобразуем эту дробь в дробь, знаменатель которой представляет собой целую степень десяти. Этого можно достигнуть, умножив числитель и знаменатель на :
Приведенное рассуждение можно распространить на общий случай следующим образом. Предположим, что b имеет вид , где тип - неотрицательные целые числа (т. е. положительные числа или нуль). Возможны два случая: либо меньше или равно (это условие записывается ), либо больше (что записывается ). При умножим числитель и знаменатель дроби на
Поскольку целое число не отрицательно (т. е. положительно или равно нулю), то , а следовательно, и а - целое положительное число. Положим . Тогда