Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №1

г. Павлово.

Научно-исследовательская работа

Методы решения диофантовых уравнений.

Отделение: физико-математическое

Секция: математика

Выполнил:

ученик 8 А класса Трухин Николай (14 лет)

Научный руководитель:

учитель математики

Лефанова Н. А.

г. Павлово

2013 г.

Оглавление

I Введение…………………………………………………………………………3

II Обзор литературы……………………………………………………………....5

III Основная часть…………………………………………………………………6

IV Заключение…………………………………………………………………...15

V Список литературы……………………………………………………………16

VI Приложение…………………………………………………………………..17

Введение.

В 2011-2012 году я выполнял исследовательскую работу на тему: «Решение уравнений в Древней Греции и Индии». При работе над ней я познакомился с трудами Диофанта Александрийского и Мухаммеда аль - Хорезми. В своей прошлой работе я рассмотрел некоторые способы решения уравнений первой степени с двумя неизвестными, познакомился с некоторыми старинными задачами, приводящими к решению уравнений первой степени с двумя неизвестными.

Мухаммед Бен Мусса аль – Хорезми, - или Магомед сын Моисея Хорезмского, состоящий членом «дома мудрости» в Иране, около 820 года нашего летоисчисления написал книгу, где учил решать простые и сложные вопросы арифметики, которые необходимы людям при дележе наследства, составлении завещаний, разделе имущества и судебных делах, в торговле, всевозможных сделках. С именем аль – Хорезми связаны понятия «алгебра», «арабские цифры», «алгоритм». Он отделил алгебру от геометрии, внёс большой вклад в математику исламского средневековья. Мухаммед аль – Хорезми был известен и уважаем, как при жизни, так и после смерти.

Но мне захотелось больше узнать о Диофанте. И тема моего исследования в этом году: «Методы решения диофантовых уравнений»

Диофант Александрийский - один из самых своеобразных древнегреческих математиков, труды которого имели большое значение для алгебры и теории чисел. Из работ Диофанта самой важной является «Арифметика», из 13 книг которой, только 6 сохранились до наших дней. В сохранившихся книгах содержится 189 задач с решениями. В первой книги изложены задачи, приводящиеся к определенным уравнениям первой и второй степени. Остальные пять книг содержат в основном неопределенные уравнения (неопределенными называются уравнения, содержащие более чем одно неизвестное). В этих книгах ещё нет систематической теории неопределённых уравнений, методы решения меняются от случая к случаю. Диофант довольствуется одним решением, целым или дробным, лишь бы оно было положительным. Тем не менее, методы решения неопределённых уравнений, составляют основной вклад Диофанта в математику. В символике Диофанта был один только знак для неизвестного. Решая неопределённые уравнения, он применял в качестве нескольких неизвестных произвольные числа, вместо которых можно было взять и любые другие, что и сохраняло характер общности его решений.

Цель моей работы:

1.Продолжить знакомство с диофантовыми уравнениями.

2.Исследовать методы перебора и рассеивания (измельчения) при решении диофантовых уравнений.

3.Исследовать возможность применения диофантовых уравнений для решения некоторых практических задач.

II . Обзор литературы.

При написании работы мной использовалась следующая литература:

Мной использована информация о Диофанте и аль – Хорезми.

Книга посвящена методам Диофанта при решении неопределённых уравнений. В ней рассказывается о жизни и самого Диофанта. Эта информация использована мной в работе.

В книги рассказывается об истории алгебры с древних времён. Я использовал информацию о теории уравнений, начиная с древности.

В этой книге собрано около 200 статей, посвященных основным понятиям математики и её приложения. Мной были использованы материалы статей «Алгебра», «Уравнения», «Диофантовы уравнения»

Из книги взяты тексты задач для практического использования.

По теме мной использовался сайт:

http :// ru . wikipedia . org (информация об аль – Хорезми и Диофанте. О методах решения диофантовых уравнений).

Основная часть

В наши дни каждый, кто занимался математикой, слышал о диофантовых уравнениях. Алгебраические уравнения с целыми коэффициентами, решаемые во множестве целых (реже рациональных) чисел, вошли в историю математики как диофантовы. Наиболее изучены диофантовы уравнения 1 и 2 степени. В содержании моей работы включены задачи, которые сводятся к решению уравнения первой степени с двумя неизвестными

(1)

Рассмотрим задачу.

Задача 1. В клетке находится x фазанов и у кроликов. Сколько в клетке фазанов и кроликов, если общее количество ног равно 62.

Общее число ног можно записать с помощью уравнения 2х+4у=62 (2)

Это равенство, которое я составил по условию задачи, называют уравнением с двумя переменными. Данное уравнение называют линейным уравнением. Линейные уравнения играют важную роль при решении различных задач. Напомню основные положения, связанные с этим понятием.

Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида ax +by =c , где x и у – переменные, а, b и с – некоторые числа.

Однозначно определить из уравнения (2) значения x и y нельзя. Даже если ограничиться только натуральными значениями переменных, здесь могут быть такие случаи: 1 и 15, 3 и 14, 5 и 13 и т. д.

Пара чисел (a , b ) называется решением уравнения с двумя переменными, если при замене x на а и y на b получаем истинное равенство.

Каждому уравнению с двумя переменными соответствует множество его решений, т. е. множество, состоящее из всех пар чисел (a , b ), при подстановке которых в уравнение получается истинное равенство. При этом, конечно, если заранее указаны множества Х и Y , которые могут принимать неизвестные x и у, то надо брать лишь такие пары (a , b ), для которых а принадлежит Х и b принадлежит Y .

Пару чисел (a , b ) можно изобразить на плоскости точкой М, имеющей координаты а и b , М= М (a , b ). Рассматривая изображения всех точек множества решений уравнения с двумя неизвестными, получим некоторое подмножество плоскости. Его называют графиком уравнения.

Можно доказать, что графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов не равен нулю, является прямая линия. Для построения графика этого уравнения достаточно взять две точки с координатами и провести через них прямую. Графический метод решения я использовал в предыдущей работе.

Два уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения называются равносильными.

Например, равносильны уравнения х+2у=5 и 3х+6у=15 – любая пара чисел, удовлетворяющая одному из этих уравнений, удовлетворяет и второму.

Уравнения с двумя переменными обладают такими же свойствами, как и уравнения с одной переменной:

1) если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;

2) если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Существует несколько способов решения диофантовых уравнений:

Метод перебора вариантов

Использование алгоритма Евклида

С использованием цепной дроби

Метод рассеивания (измельчения)

При помощи программирования на языке программирования Паскаль

В своей работе я исследовал методы – перебор вариантов и рассеивание (измельчения)

Рассматривая способ перебора вариантов, необходимо учитывать количество возможных решений уравнения. Например, этот способ можно применить, решая следующую задачу:

Задача 2 . Андрей работает летом в кафе. За каждый час ему платят 10 р. И высчитывают 2 р. за каждую разбитую тарелку. На прошедшей неделе он заработал 180 р. Определите, сколько часов он работал и сколько разбил тарелок, если известно, что он работает не более 3 ч в день.

Решение.

Пусть x часов он всего работал в неделю, тогда 10х р. ему заплатили, но он разбил у тарелок, и с него вычли 2у р. Имеем уравнение 10х – 2у =180 , причем x меньше или равен 21. Получим: 5х-у=90, 5х=90+у, х=18+у:5.

Так как x целое число, то у должно нацело делится на 5, чтобы в правой части получилось целое число. Возможны четыре случая

у=0, х=18, т. е. решением является пара – (18, 0);

у=5, х=19, (19, 5);

у=10, х=20, (20, 10);

у=15, х=21, (21, 15).

Эту задачу я решил, используя способ перебора вариантов. Ответ содержит четыре возможных варианта. Я попробовал решить этим способом ещё несколько задач.

Задача 3. Из двухрублевых и пятирублевых монет составлена сумма в 23 рубля. Сколько среди этих монет двухрублевых?

Решение.

Пусть x – количество двухрублевых монет, у – количество пятирублевых монет. Составим и решим уравнение: 2х+5у=23; 2х=23–5у; x = (23 – 5у):2; x =(22+1 – 5у):2, почленно поделим 22 на 2 и (1 – 5у) на 2, получим: x = 11 + (1 – 5у):2.

Так как x и y натуральные числа по условию задачи, то левая часть уравнения есть натуральное число, значит, и правая часть должна быть натуральным числом. К тому же, чтобы получить в правой части число натуральное, нужно чтобы выражение (1 – 5у) нацело делилось на 2. Осуществим перебор вариантов.

y =1, х=9, то есть двухрублевых монет может быть 9;

у=2, при этом выражение (1 – 5у) не делится нацело на 2;

у=3, х=4, то есть двухрублевых монет может быть 4;

при у больше или равном 4 значение x не является числом натуральным.

Таким образом, ответ в задаче следующий: среди монет 9 или 4 двухрублевых.

Задача 4. Шехерезада рассказывает свои сказки великому правителю. Всего она должна рассказать 1001 сказку. Сколько ночей потребуется Шехерезаде, чтобы рассказать все свои сказки, если x ночей она будет рассказывать по 3 сказки, а остальные сказки по 5 за у ночей

Решение.

Сказочнице потребуется x + у ночей, где x и у – натуральные корни уравнения 3х+5у=1001

x = (1001 – 5у):3; так как x – натуральное число, то и в правой части равенства также должно быть натуральное число, а значит выражение (1001 – 5у) должно нацело делиться на 3.

Осуществим перебор вариантов.

у=1, 1001 – 5у=1001-5= 996, 996 делится на 3, следовательно, х=332; решение (332;1);

у=2, 1001– 10=991, 991 не делится на 3;

у=3, 1001 – 15 = 986; 986 не делится на3;

у =4, 1001 – 20 = 981, 981 делится на 3, следовательно, x = 327, решение (327;4) и т. д.

В этой задаче существует 67 пар возможных корней, я не стал показывать все решения данной задачи, т. к. это занимает много времени.

Уравнение ax + by = c (1) в приведённых задачах я решал способом перебора вариантов. Я уяснил для себя, что способ перебора вариантов не всегда эффективен для решения данной задач, так как для нахождения всех решений уравнения требуются значительные временные затраты. И, на мой взгляд, в настоящее время он неактуален.

Поэтому я решил задачу про Шехерезаду, используя метод рассеивания (измельчения).

Метод рассеивания – это общий метод для решения в целых числах неопределённых уравнений первой степени с целыми коэффициентами.

Итак, решим задачу про Шехерезаду методом рассеивания:

Обратимся к уравнению 3х + 5у = 1001.

Перепишем его иначе: 3х= 1001- 5у; 3х= 1001 - 2у - 3у;

x = – y +
и обозначим x l = у + x

В результате уравнение примет вид 3х 1 = 1001 – 2у или

у = –x l
.

Если вновь произвести замену у 1 = у + х 1 , то придем к уравнению

x 1 + 2у 1 = 1001. Заметим, что коэффициенты при неизвестных уменьшились - измельчились.

Здесь коэффициент при x 1 , равен 1, а поэтому при любом целом у 1 = t число х 1 тоже целое. Остается выразить исходные переменные через t :

х 1 = 1001 – 2 t , следовательно, у = – 1001 + 3 t , а x = 2002 – 5 t . Итак, получаем бесконечную последовательность (2002 – 5 t , – 1001 + 3 t ) целочисленных решений. Внешний вид формул для нахождения значений переменных отличается от решений, полученных ранее, но с учетом условия задачи, корни получаются те же самые. Так, пара (332;1) получается при t =334.

На мой взгляд, этот метод не только более удобный (у него есть алгоритм действий), но и интересный. Известно, что этот метод в первые применил в начале VI в. индийский математик Ариабхатта.

В прошлом году я показывал решение древней индийской задачи Брахмагупты методам рассеивания, которое предложил сам Брахмагупта. Решение было нерациональным.

Оно представлено ниже:

«Найти два целых числа, зная, что разность произведений первого на 19 и второго на 8 равно 13. »

В задаче требуется найти все целые решения уравнений.

Решение:

(1) 19x – 8y = 13

Выражаю y – неизвестное с наименьшим по абсолютной величине коэффициентом через x , получаю:

(2) y = (19x – 13)/8

Нужно теперь узнать, при каких целых значениях x соответствующие значения y являются тоже целыми числами. Перепишу уравнение (2) следующим образом:

(3) y = 2x + (3x – 13)/8

Из (3) следует, что y при целом x принимает целое значение только в том случае, если выражение (3x -13)/8 является целым числом, скажем y 1 . Полагая

(4) (3x - 13)/8 = y 1 ,

вопрос сводится к решению в целых числах уравнения (4) с двумя неизвестными x и y 1 ; его можно записать так:

(5) 3x – 8y 1 = 13.

Это уравнение имеет по сравнению с первоначальным (1) преимущество, что 3 – наименьшее из абсолютных величин коэффициентов при неизвестных – меньше, чем в (1), т.е. 8. Это было достигнуто благодаря тому, что коэффициент при x (19) был заменен остатком от деления на 8.

Продолжая тем же способом, мы получим из (5):

(6) x = (8y 1 +13)/3 = 2y 1 + (2y 1 + 13)/3.

Итак, неизвестное x при целом y 1 только тогда принимает целые значения, когда (2y 1 + 13)/3 есть целое число, скажем y 2 :

(7) (2y 1 + 1)/3 = y 2 ,

или

(8) 3y 2 – 2 y 1 = 13.

(9) y 1 = (3y 2 - 13)/2 = y 2 + (y 2 - 13)/2

Полагая

(10) (y 2 - 13)/2 = y 3 ,

получаю

(11) y 2 – 2 y 3 = 13.

Это самое простое из всех рассмотренных неопределенных уравнений, так как один из коэффициентов равен 1.

Из (11) получаю:

(12) y 2 = 2y 3 + 13.

Отсюда видно, что y 2 принимают целые значения при любых целых значениях y 3 . Из равенств (6), (9), (12), (3) путем последовательных подстановок можно найти следующие выражения для неизвестных x и y уравнения (1):

x = 2y 1 + y 2 = 2(y 2 + y 3 ) + y 2 = 3y 2 + 2y 3 = 3(2y 2 + 13) + 2y 3 = 8y 3 + 39;

у = 2x + y 1 = 2(8y 3 + 39) + y 2 + y 3 = 19y 3 +91.

Таким образом, формулы

x = 8y 3 + 39,

y = 19y 3 + 91.

При y 3 = 0, + 1,+ 2, + 3, … дают все целые решения уравнения (1).

В следующей таблице приведены примеры таких решений.

Таблица 1.

y3

x

y

Решим эту задачу рационально. В решении используется определённый алгоритм.

Задача 5.

Найти два числа, если разность произведений первого на 19 и второго на 8 равна 13.

Решение. Требуется решить уравнение 19х - 8у = 13

Перепишем его иначе: 8y =19x –13; 8y =16x +3x –13; у = 2х +

и обозначим y 1 = у - 2х.

В результате уравнение примет вид 8у 1 = Зx - 13 или x = 2y 1
.

Если вновь произвести замену х 1 = x - 2у 1 , то придем к уравнению

3x l - 2у 1 = 13.

Коэффициенты при неизвестных уменьшились - измельчились. Дальнейшее измельчение: y 1 = x l +
, то получим у 2 =у 1 –х 1 .

В результате последнее уравнение преобразуется к виду х 1 - 2у 2: = 13. Здесь коэффициент при х 1 , равен 1, а поэтому при любом целом у 2 = t число х 1 тоже целое.

Остается выразить исходные переменные через t :

вначале выразим х 1 =2t +13, y 1 = 3t +13; а затем x = 8 t +39, y = 19 t + 91.

Итак, получаем бесконечную последовательность (39 + 8 t , 91 + 19 t ) целочисленных решений . Уравнение ax + by = c (1) в приведённых задачах я решал способом рассеивания (измельчения).

IV . Заключение.

Изучая диофантовы уравнения для их решения, я использовал методы перебора вариантов и рассеивания (измельчения). Этими методами я решал, как современные, так и древние задачи. В содержании моей работы были включены задачи, которые сводятся к решению уравнений первой степени с двумя переменными ах+b у=с (1)

В ходе своей работы я сделал выводы:

Метод перебора требует значительные временные затраты, а значит он не очень удобен и рационален.

Более рациональным, на мой взгляд, является метод рассеивания. Когда я решал старинную индийскую задачу этим методом, я понял, что существует определённый алгоритм решения. Мне было достаточно полученных в школе знаний. Я убедился, что методы решения дофантовых уравнений с развитием математики постоянно совершенствуются.

На следующий год я хочу продолжить изучение методов решения диофантовых уравнений.

V . Список литературы

Г. И. Глейзер «История математики в школе» М.: изд. «Просвещение» 1964г. 376с.

И. Г. Башмакова «Диофант и диофантовы уравнения» М.: изд. «Наука» 1972г. 68с.

В. А. Никифоровский «В мире уравнений» М.: изд. «Наука» 1987г. 176с.

А. П. Савин «Энциклопедический словарь юного математика» М.: изд. «Педагогика» 1985г.

Г. М. Возняк, В. Ф. Гусев «Прикладные задачи на экстремумы» М.: изд. «Просвещение» 1985г. 144с.

http :// ru . wikipedia . org

VI . Приложение.

На фермерском хозяйстве нужно провести водопровод длиной 167м. Имеются трубы длиной 5м и 7м. Сколько нужно использовать тех и других труб, чтобы сделать наименьшее количество соединений (трубы не резать)?

Учитывая, что количество как одних, так и других труб может изменяться, количество 7 – метровые трубы обозначаем через х, 5 – метровые – через у

Тогда 7х – длина 7 – метровых труб, 5у – длина 5 – метровых труб.

Отсюда получаем неопределённое уравнение:

7х+5у=167

Выпазив, например, переменную у через переменную х , получим:

Методом перебора легко найти соответствующие пары значений х и у , которые удовлетворяют уравнению 7х+5у=167

(1;32), (6;25), (11;18), (16;11), (21;4).

Из этих решений наиболее выгодное последнее, т. е. х=21; у=4.

Многие старинные способы отгадывания чисел и дат рождения основываются на решении диофантовых уравнений. Так, например, чтобы отгадать дату рождения (месяц и число) собеседника, достаточно узнать у него сумму, получаемую от сложения двух произведений: числа даты (х ) на 12 и номера месяца (у ) на 31.

2. Пусть сумма произведений, о которых идёт речь, равна 330. Найти дату рождения.

Решим неопределённое уравнение

12 х + 31 у = 330.

С помощью метода рассеивания получим:

х = 43 – 31 у 4 ,

у = 6 – 12 у 4 .

Ввиду ограничений, легко констатировать, что единственным решением является

у 4 = 1, х = 12, у = 6.

Итак, дата рождения: 12-е число 6-го месяца, т.е. 12 июня.

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 28 города СМОЛЕНСКА

СМОЛЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Секция Математика

Реферат

Диофантовы уравнения

Выполнил работу: Гончаров Евгений Игоревич,

учащийся 11 класса

Руководитель: Солдатенкова Зоя Александровна,

учитель математики

Смоленск

Почему меня заинтересовала данная тема?

Как-то раз, листая учебник, я наткнулся на небольшую врезку о диофантовых уравнениях. Я сразу же заметил, что текстовые задачи в рамках этой темы имеют интригующее, порой комичное, условие, а в силу большого количества различных методов их решения, они вовсе не кажутся типовыми. Кроме того, некоторые вызвали у меня затруднение.

Находя пути их рационального решения, я стал плотнее знакомиться с данной темой. Чем глубже я погружался - тем больше сложных и интересных задач встречал, тем больше возникало вопросов. Вскоре я осознал, что большая часть этой темы лежит за рамками школьной программы.

Поэтому я не стал опережать события и углубляться в теорию (КТО, 10 проблема Гильберта, Великая теорема Ферма и прочее). А начал осваивать исключительно алгоритмы решения диофантовых уравнений и систем уравнений, параллельно знакомясь с историей их открытия.

Диофант Александрийский - древнегреческий математик. Летописи не сохранили практическиникаких сведений об этом ученом. Диофант представляет одну занимательных загадок в истории математики. из Мы не знаем, кем он был, точные года его жизни, нам не известны его предшественники, которые работали бы в той же области, что и сам Диофант:

Диофант цитирует Гипсикла Александрийского (древнегреческого математика и астронома, жившего во II веке до н. э.);

О Диофанте пишет Теон Александрийский (греческий математик эпохи позднего эллинизма, философ и астроном, живший в III веке н.э.);

Свои работы Диофант посвящаетДионисию Александрийскому (епископу,жившему в середине III в. н. э.). Таким образом, ученые предполагают, что этот математик жил в IIIв.н.э.

В антологии МаксуимаПлануда (греческого монаха XIV в. н.э.) содержится эпиграмма-задача „Эпитафия Диофанта":

Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей - и камень

Мудрым искусством его скажет усопшего век.

Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком.

И половину шестой встретил с пушком на щеках.

Только минула седьмая, с подругой он обручился.

С нею, пять лет проведя, сына дождался мудрец;

Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.

Отнят он был у отца ранней могилой своей.

Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,

Тут и увидел предел жизни печальной своей.

(Пер. С. Н. Боброва).

Эта задача сводится к составлению и решению простейшего линейногоуравнения:

(1/6)х+(1/12)х+(1/7)х+5+(1/2)х+4=х,

где х -количество лет, прожитых Диофантом.

х+7х+12х+42x+9*84=84х;

х=84 - вот сколько лет прожил Диофант.

И за эти годы Диофант написал сочинения Об измерении поверхностей и Об умножении, трактат О многоугольных числах. Основнымже произведением Диофанта является Арифметика в 13 книгах.

К сожалению, далеко не все его работы сохранились. В тех, что дошли до нас, содержится 189 задач с решениями, сводящимися к определенным уравнениям первой и второй степеней и неопределенным. Вклад этого ученого в развитие математики огромен.

Диофант вводит специальные символы для вычитания, сокращенные слова для отдельных определений и действий. То есть именно он был автором первого алгебраического языка.

В честь Диофанта назван кратер на Луне.

Однако Диофант не искал общих решений, а довольствовался каким-нибудь одним, как правило, положительным решением неопределенного уравнения.

Диофантовы уравнения как математическая модель жизненных ситуаций

Каждый человек, даже бесконечно далекий от математики, встречался и, более того, - решал простейшие диофантовы уравнения, сам того не зная. Действительно, они служат математической моделью ко многим задачам, возникающим на бытовом уровне.

Задача № 1

На складе есть ящики с гвоздями, массой по 16, 17 и 40 кг. Сможет ли кладовщик выдать 100 кг гвоздей, не раскрывая ящиков?

Легко заметить, что 17 кг +17кг +16 кг=50 кг. Тогда, что бы выдать 100 кг (в 2 раза больше) необходимо взять 4 ящика по 17 кг и 2 ящика по 16 кг.

Ответ: Да, сможет.

Здесь нам повезло: решение свелось к простейшему перебору, а ответ оказался очевидным. Рассмотрим еще одну задачу:

Задача № 2

В загоне находятся одноглавые сороконожки и трехглавые змеи. Всего у них 298 ног и 26 голов. Сколько ног у трехглавых змей?

Пусть в загоне было х сороконожек, и y Горынычей, причем у каждого змея по p ног. Сразу же оговорим, что каждая из этих переменных должна быть целой и положительной. Тогда:

3y=26x=26-3yx=26-3yx=26-3y

x+py=29840x+py=298120y-742=py p=120-742/y

x>026-3y>0y?8 y?8

y>0 p>0p>0 120-742/y>0>0y>0y>0y>0

p=120-742/yТогда: х=5

Так как p целое, то p=27,25 нам не подходит.

Эта задача была несколько сложнее первой, но путем введения ограничений на переменные мы смогли сузить перебор всего до двух случаев. Идем дальше:

Задача № 3

Требуется разлить 20,5 литра сока в банки по 0,7 литра и 0,9 литра так, чтобы все банки оказались полными. Сколько каких банок надо заготовить? Какое наименьшее количество банок при этом может понадобиться?

Пусть xколичество банок по 0,7 литра, а у - 0,9 литра. Тогда составим уравнение:

Очевидно, что прямой перебор чисел в лоб займет уйму времени. А в мире нет места для некрасивой математики ©Г. Харди.

Рассмотрим метод решения подобных уравнений, а потом вернемся непосредственно к нашей задачи и доделаем ее.

Метод рассеивания

Диофантово уравнение имеет вид:(x1,x2…xn)=0, где P - целочисленная функция, а переменные xi принимают целые значения. Решая задачу № 2, мы столкнулись с уравнением вида ax+by=c, где a,b и с целочисленные коэффициенты, а x и у - переменные, принимающие только целые значения. Это - линейное диофантово уравнение с двумя неизвестными.

Общий метод для решения таких уравнений возник в Индии в XII веке. Его появление было вызвано астрономическими запросами и календарными

расчетами. Первые намеки на общее решение диофантовых уравнений сделал Ариабхатт. Сам же метод был создан Бхаскарой и Брахмагуптой. Сейчас он известен как метод рассеивания. Разберем его на примере:

Пример № 1: Найти все целые решения уравнения 19х-8у=13.

Выразим у через х (так как коэффициент при у наименьший) и выделим целую часть:

у= (19x-13)/8 = (3х-13)/8 +2х

Выражение (3х-13)/8 должно быть целым. Обозначим его k.

Тогда 8k=3x-13. Повторим проделанную выше операцию:

x=(8k+13)/3=2k+(2k+13)/3= (2k+13)/3. Тогда 3h=2k+13,=(3h-13)/2=(h-13)/2+h= (h-13)/2. Тогда 2p= h-13. h=13+2p

Из равенства (4) очевидно, что h принимает целые значения при любых целых значениях p.

Путем последовательных подстановок (4) находим выражения для неизвестных: k=13+3p, x= 39+8p и, наконец, у=91+18p.

Ответ: (39+8p;91+18p).

Теперь, обладая достаточным запасом знаний, вернемся к задачи № 3.

х=29+(2-9у)/7; пусть t=(2-9у)/7, где t - целое число;

t=2-9y; t=(2-2y)/7-y; пусть (2-2y)/7=p, где p - целое число;

Y=7k, где kцелое;y=1-7k, где k - целое число. Тогда x=28+9k.

x>0; 28+9k>0;k?-3.

y>0; 1-7k>0;k?0.

То есть kможет принимать значения: -3,-2,-1,0.

x+y=1-7k+28+9k; x+y=29+2k.

То есть наименьшему количеству банок соответствует наименьшее k.

(x+y)наименьшее=29-6=23.

Ответ: (28+9k;1-7k), где kпринимает значения -3,-2,-1,0. Наименьшее количество банок 23.

Задачи на разложение числа

Стоит заметить, что текстовые задачи, сводящиеся к нахождению числа, знаю его делители и остатки, занимают особое, почетное место, среди текстовых задач по данной теме. Они же и наиболее сложные, а значит интересные. Рассмотрим некоторые из них.

Крестьянка несла на базар корзину яиц. Неосторожный всадник, обгоняя женщину, задел корзину, и все яйца разбились. Желая возместить ущерб, он спросил у крестьянки, сколько яиц было в корзине. Она ответила, что число яиц не знает, но когда она раскладывала их по 2, по 3, по 4, по 5 и по 6, то каждый раз одно яйцо оставалось лишним, а когда она разложила по 7, лишних яиц не осталось. Какое наименьшее количество яиц могла нести крестьянка на базар?

Решение: Обозначим за n искомое количество яиц, тогда составим систему уравнений:

2a+1 n-1=2a (1)=3b+1 n-1=3b (2)=4c+1 n-1=2*2c (3)=5d+1 n-1=5d (4)=6e+1 n-1=2*3e (5)=7fn=7f

Из уравнений (1), (2),(3),(4),(5) следует, что число n-1=2*3*2*5k, где kцелое;

n-1=60k;n=60k+1.

При подстановке полученного n в (7) уравнение получаем: 60k+1=7f.

f= (60k+1)/7 = (4k+1)/7 + 8k;=(4k+1)/7,где rцелое, (1)

7r=4k+1; 4k=7r-1; k=(3r-1)/4+r;=(3r-1)/4,где sцелое

3r-1=4s; 3r=4s+1;r= (s+1)/3+r;= (s+1)/3,где u целое,тогда

s+1=3u; s= 3u-1,

то есть s всегда принимает целые значения при любом целочисленном u. Путем последовательных подстановок получаем:

r=4u-1; k=7u-2; f=420u -119.

Очевидно, что при u=1, f принимает наименьшее положительное значение, а именно 301.

Ответ: 301.

* Следует заметить, что не обязательно слепо следовать этому алгоритму до самого победного конца. Фактически, в рамках условия задачи, нам не обязательно отыскивать все возможные целые значения k: достаточно лишь одного, наименьшего. И уже после (1) преобразования очевидно, что искомое нами k равно 5, а значит f=60*5+1=301.

Предположим, что имеется некоторое количество туристов. Разбив их на тройки, получаем в остатке 2, разбив на пятерки - 3, разбив на семерки - 2. Сколько туристов в группе, если всего их число не превосходит 100 человек.

Пусть всего было k туристов. Тогда:

3a+2 k=3a+2=5b+3 5b+3=3a+2=7c+2 7c+2=3a+2

И тут очевидная часть нашего решения заходит в тупик. Что бы из него выйти необходимо вспомнить, что:

1) a*b+c?c (moda) ? c (modb). Например, 15 ? 1 (mod 7), то есть число 15 дает в остатке 1 при делении 7.

2) a*b+d ? c (modr) óa*b ? c-d (modr) ób ? a(c-d) (modr)óa? b(c-d) (modr). Тогда:

3a+2 k=3a+2 k=3a+2

a+2 ? 3 (mod 5) 3a= 1 (mod 5) a ? 3 (mod 5)

a+2 ? 2 (mod 7) 3a= 0 (mod 7) 3a ? 0 (mod7)

3a+2 k=3a+2= 3 +5p, гдеpцелоеa=3 + 5p

15p ? 0 (mod 7) p= -135 (mod 7)

3a+2 k=3a+2k=105d-2014=3 + 5pa=35d-672 a=35d-672=-135 + 7d, гдеdцелоеp=-135 + 7dp= -135 + 7d

Итак, k=105d-2014. Если d=20, то k = 86, если d<20 , то k<0, если d>20, то k>100. Ответ: 86.

Давайте попробуем придать ей практическую полезность, например, выведем общую формулы для экскурсовода для подсчета туристов. Пусть r1, r2, r3 остатки при делении общего числа туристов на группы по 3, 5,7 соответственно, а общее количество туристов по-прежнему не будет превышать 100 человек. Аналогичнорассуждая, получаем:

3a+r1 3a? (r2-r1) (mod 5)a=3(r2-r1) + 5d, гдеdцелое=5b+r2 3a+r1=7c+r39r2-8r1+15d?r3 (mod 7)=7c+r3k=3a+1 k=3a+1

a=3(r2-r1) + 5d d = 15(r3-9r2+8r1)+7p, где p целое

d?15(r3-9r2+8r1) (mod 7) a = 3(r2-r1) + 5d

k=9r2-8r1+15d k = 225r3-1792r1-2016r2+105p

Ответы: 86; k=225r3-1792r1-2016r2+105p.

Итак, нами получена формула для k. Но в ней помимо r1,r2,r3 присутствует целочисленноеd. Возникает закономерный вопрос: всегда ли числоkбудет определяться единственным образом, если оно меньше 100? Меньше 150? 43? и так далее.

Китайская теорема об остатках

Китайская теорема об остатках (КТО) - несколько связанных утверждений, сформулированных в трактате китайского математика Сунь Цзы (IIIв.н.э.) и обобщенных ЦиньЦзюшао(XVIIIв.н.э.) в его книге «Математические рассуждения в 9 главах». Звучит она так:

Пусть числа M1 , M2, …, Mk - попарно взаимно простые, и M= M1*M2*…*Mk .Тогдасистема

x?B1 (modM1)? B2 (modM2)

имеет единственное решение среди чисел {0,1,…,M-1}.

Проще говоря, ответ будет всегда однозначным, если искомое число туристов меньше произведения делителей, на которые его делят. Возвращаясь к задаче № 4, мы говорим, что их будет возможно сосчитать, если их общее число не будет превышать 104. (М-1=3*5*7-1=104). Так значит, что бы посчитать человек, отталкиваясь от нашей формулы необходимо вычислить 225r3-1792r1-2016r2, а потом отнимать от него число 105 до тех пор, пока мы не получим число меньшее 105, но большее 0. Это долго и неудобно. Да и, честно говоря, число около ста человек можно сосчитать и не используя такие сложные алгоритмы.

Простейшие нелинейные диофантовы уравнения

Диофант полностью проанализировал неопределённые уравнения второй степени с двумя неизвестными. Для решения уравнений и систем более высоких степеней он разработал ещё более тонкие и сложные методы, которые привлекали внимание многих европейских математиков Нового времени. Но практически все уравнения этого типа в рамках школьного курса решаются методом разложения на множители.

Пример № 2: Решить в целых числах уравнениеx2-3xy+2y2=7.

x2-xy-2xy+2y2=7;

x(x-y) -2y(x-y)=7;

Очевидно, что мы можем получить число 7 следующими способами: 1*7=7;7*1=7;-1*(-7)=7;-7*(-1).

Тогда составим и решим систему уравнений:

x-2y=1 x=13y=7y=6y=7 x=-5y=1 y=-6y=-1 x=-13y=-7 y=-6y=-7 x=5y=-1 y=6

Ответ: (13;6), (-5;-6), (-13;-6), (5,6).

Пример № 3:Доказать, что уравнение x5+3x4y- 5x3y2-15x2y3 + 4xy4+12y5=33 не имеет целочисленных корней.

x4(x+3y)-5x2y2 (x+3y)+4y4(x+3y)=33;

(x4- 4x2y2+4y4-x2y2)(x+3y)=33;

(x2(x2-y2)-4y2(x2-y2))(x+3y)=33;

(x-y)(x+y)(x+2y)(x-2y)(x+3y)=33;

Если у=0, тогда исходное уравнение примет вид x5=33. Тогда x не является целым. Значит, при у=0 данное уравнение не имеет целых решений. Если, y?0, то все пять множителей в левой части уравнения различны. С другой стороны число 33 можно представить в виде произведения максимум четырёх различных множителей (33=1·3·11 или 33=-1·3·(-11)·(-1) и т.д.). Следовательно, при y?0данное уравнение также не имеет целых решений.

Десятая проблема Гильберта

Так или иначе, возникает вопрос: любое ли диофантово уравнение можно решить, то есть найти его корни или доказать их отсутствие.

августа 1900 года состоялась II Международный конгресс математиков. На ней Давид Гильберт предложил 23 задачи. Десятая звучала так:

Пусть задано диофантово уравнение с произвольными неизвестными и целыми рациональными числовыми коэффициентами. Указать способ, при помощи которого возможно после конечного числа операций установить, разрешимо ли это уравнение в целых рациональных числах.

Множество светлых умов XX-ого века бились над этой задачей:АксельТуэ, ТуральфСкулем, Эмиль Пост, Джулия Робинсон, Мартин Дэвис и Хилари Патнем, Мартина Дэвиса и другие. И лишь в 1970 году Юрий Матиясевич завершилдоказательство алгоритмической неразрешимости этой задачи.

Давид Гильберт (23 января 1862 - 14 февраля 1943) - немецкий математик-универсал, внёс значительный вклад в развитие многих областей математики. В 1910-1920-е годы (после смерти Анри Пуанкаре) был признанным мировым лидером математиков. В 1970 г. Международный астрономический союз присвоил имя Гильберта кратеру на обратной стороне Луны.

Юрий Владимирович Матиясевич (родился 2 марта 1947 года, Ленинград) - советский и российский математик, исследователь Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова РАН, член экспертной комиссии РСОШ по математике, академик Российской академии наук, доктор физико-математических наук

диофант уравнение математический

Заключение

Эта тема многогранна и практически необъятна. Недаром над ней ломали голову ученые с мировым именем на протяжении все истории развития математики. Она затрагивает фундаментальные понятия в математике и знания о диофантовых уравнениях, как мне кажется, никогда не будут исчерпывающими.

Делая этот реферат я овладел методом рассеивания, научился решать системы уравнений на задачи про остатки, познакомился с историей освоения методов решения диофантовых уравнений.

По миру математики, которая уже давно мудра и величава, мы идём проторенным путём.

Но каждый может стать первооткрывателем: вначале для себя, а в будущем, может, и для других…

Я думаю продолжить работу над этой темой, расширить свои познания в решении неопределённых уравнений. Изучение новых методов решения обогащает багаж знаний любого человека, тем более, что они могут оказаться актуальными на ЕГЭ (С6).

Список используемой литературы

1.Журнал «Квант» 1970г. №7

.«Энциклопедия юного математика» 520 с.

Http://ilib.mirror1.mccme.ru/djvu/serp-int_eq.htm

Пичугин Л.Ф. «За страницами учебника алгебры», М., 1990г., 224с.

Глейзер Г.И. «История математики в школе 10-11», 351с

Петраков И.А. «Математика для любознательных», М., 2000г. 256с.

Http://bars-minsk.narod.ru/teachers/diofant.html

Репетиторство

Нужна помощь по изучению какой-либы темы?

Наши специалисты проконсультируют или окажут репетиторские услуги по интересующей вас тематике.
Отправь заявку с указанием темы прямо сейчас, чтобы узнать о возможности получения консультации.

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

«Тобольская государственная социально-педагогическая академия

им. Д.И. Менделеева»

Кафедра математики, ТиМОМ

Некоторые диофантовы уравнения

Курсовая работа

студента III курса ФМФ

Матаева Евгения Викторовича

Научный руководитель:

к.ф.-м.н.Валицкас А.И.

Оценка: ____________

Тобольск – 2011

Введение……………………………………………………………………........ 2

§ 1. Линейные диофантовы уравнения………………………………….. 3

§ 2. Диофантово уравнение x 2 – y 2 = a ………………………………….....9

§ 3. Диофантово уравнение x 2 + y 2 = a …………………………………... 12

§ 4. Уравнение х 2 + х + 1 = 3у 2 …………………………………………….. 16

§ 5. Пифагоровы тройки………………………………………………….. 19

§ 6. Великая теорема Ферма………………………………………………23

Заключение……………………………………………………………….….....29

Список литературы........... ………………………………………………..30

ВВЕДЕНИЕ

Диофантово уравнение – это уравнение вида P (x 1 , … , x n ) = 0 , где левая часть представляет собой многочлен от переменных x 1 , … , x n с целыми коэффициентами. Любой упорядоченный набор (u 1 ; … ; u n ) целых чисел со свойством P (u 1 , … , u n ) = 0 называется (частным) решением диофантова уравнения P (x 1 , … , x n ) = 0 . Решить диофантово уравнение – значит найти все его решения, т.е. общее решение этого уравнения.

Нашей целью будет научиться находить решения некоторых диофантовых уравнений, если эти решения имеется.

Для этого, необходимо ответить на следующие вопросы:

а. Всегда ли диофантово уравнение имеет решение, найти условия существования решения.

б. Имеется ли алгоритм, позволяющий отыскать решение диофантова уравнения.

Примеры: 1. Диофантово уравнение 5 x – 1 = 0 не имеет решений.

2. Диофантово уравнение 5 x – 10 = 0 имеет решение x = 2 , которое является единственным.

3. Уравнение ln x – 8 x 2 = 0 не является диофантовым.

4. Часто уравнения вида P (x 1 , … , x n ) = Q (x 1 , … , x n ) , где P (x 1 , … , x n ) , Q (x 1 , … , x n ) – многочлены с целыми коэффициентами, также называют диофантовыми. Их можно записать в виде P (x 1 , … , x n ) – Q (x 1 , … , x n ) = 0 , который является стандартным для диофантовых уравнений.

5. x 2 – y 2 = a – диофантово уравнение второй степени с двумя неизвестными x и y при любом целом a. Оно имеет решения при a = 1 , но не имеет решений при a = 2 .

§ 1. Линейные диофантовы уравнения

Пусть a 1 , … , a n , с Z . Уравнение вида a 1 x 1 + … + a n x n = c называется линейным диофантовым уравнением с коэффициентами a 1 , … , a n , правой частью c и неизвестными x 1 , … , x n . Если правая часть с линейного диофантова уравнения нулевая, то такое диофантово уравнение называется однородным.

Наша ближайшая цель – научиться находить частные и общие решения линейных диофантовых уравнений с двумя неизвестными. Очевидно, что любое однородное диофантово уравнение a 1 x 1 + … + a n x n = 0 всегда имеет частное решение (0; … ; 0).

Очевидно, что линейное диофантово уравнение, все коэффициенты которого равны нулю, имеет решение только в случае, когда его правая часть равна нулю. В общем случае имеет место следующая

Теорема (о существовании решения линейного диофантова уравнения). Линейное диофантово уравнение a 1 x 1 + … + a n x n = c , не все коэффициенты которого равны нулю, имеет решение тогда и только тогда, когда НОД(a 1 , … , a n ) | c.

Доказательство. Необходимость условия очевидна: НОД(a 1 , … , a n ) | a i (1 i n ) , так что НОД(a 1 , … , a n ) | (a 1 x 1 + … + a n x n ) , а значит, делит и

c = a 1 x 1 + … + a n x n .

Пусть D = НОД(a 1 , … , a n ) , с = Dt и a 1 u 1 + … + a n u n = D – линейное разложение наибольшего общего делителя чисел a 1 , … , a n . Умножая обе части на t , получим a 1 (u 1 t ) + … + a n (u n t ) = Dt = c , т.е. целочисленная

n -ка (x 1 t ; … ; x n t) является решением исходного уравнения с n неизвестными.

Теорема доказана.

Эта теорема даёт конструктивный алгоритм для нахождения частных решений линейных диофантовых уравнений.

Примеры: 1. Линейное диофантово уравнение 12x+21y = 5 не имеет решений, поскольку НОД(12, 21) = 3 не делит 5 .

2. Найти частное решение диофантова уравнения 12x+21y = 6 .

Очевидно, что теперь НОД(12, 21) = 3 | 6 , так что решение существует. Запишем линейное разложение НОД(12, 21) = 3 = 122 + 21(–1) . Поэтому пара (2; –1) – частное решение уравнения 12x+21y = 3 , а пара (4; –2) – частное решение исходного уравнения 12x+21y = 6 .

3. Найти частное решение линейного уравнения 12x + 21y – 2z = 5 .

Так как (12, 21, –2) = ((12, 21), –2) = (3, –2) = 1 | 5 , то решение существует. Следуя доказательству теоремы, вначале найдём решение уравнения (12,21)х–2у=5 , а затем, подставив линейное разложение наибольшего общего делителя из предыдущей задачи, получим решение исходного уравнения.

Для решения уравнения 3х – 2у = 5 запишем линейное разложение НОД(3, –2) = 1 = 31 – 21 очевидно. Поэтому пара чисел (1; 1) является решением уравнения 3 x – 2 y = 1 , а пара (5; 5) – частным решением диофантова уравнения 3х – 2у = 5 .

Итак, (12, 21)5 – 25 = 5 . Подставляя сюда найденное ранее линейное разложение (12, 21) = 3 = 122 + 21(–1) , получим (122+21(–1))5 – 25 = 5 , или 1210 + 21(–5) – 25 = 5 , т.е. тройка целых чисел (10; –5; 5) является частным решением исходного диофантова уравнения 12x + 21y – 2z = 5 .

Теорема (о структуре общего решения линейного диофантова уравнения). Для линейного диофантова уравнения a 1 x 1 + … + a n x n = c справедливы следующие утверждения:

(1) если = (u 1 ; … ; u n ), = (v 1 ; … ; v n ) – его частные решения, то разность (u 1 – v 1 ; … ; u n – v n ) – частное решение соответствующего однородного уравнения a 1 x 1 + … + a n x n = 0 ,

(2) множество частных решений линейного диофантова однородного уравнения a 1 x 1 + … + a n x n = 0 замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения на целые числа,

(3) если M – общее решение данного линейного диофантова уравнения, а L – общее решение соответствующего ему однородного диофантова уравнения, то для любого частного решения = (u 1 ; … ; u n ) исходного уравнения верно равенство M = + L .

Доказательство. Вычитая равенство a 1 v 1 + … + a n v n = c из равенства a 1 u 1 + … + a n u n = c , получим a 1 (u 1 – v 1 ) + … + a n (u n – v n ) = 0 , т. е. набор

(u 1 – v 1 ; … ; u n – v n ) – частное решение линейного однородного диофантова уравнения a 1 x 1 + … + a n x n = 0 . Таким образом, доказано, что

= (u 1 ; … ; u n ), = (v 1 ; … ; v n ) M L .

Это доказывает утверждение (1).

Аналогично доказывается утверждение (2):

, L z Z L z L .

Для доказательства (3) вначале заметим, что M + L . Это следует из предыдущего: M+L .

Обратно, если = (l 1 ; … ; l n ) L и = (u 1 ; … ; u n ) M , то M :

a 1 (u 1 + l 1 )+ …+a n (u n + l n ) = (a 1 u 1 + … + a n u n )+(a 1 l 1 + … + a n l n ) = c + 0 = c .

Таким образом, + L M , и в итоге M = + L .

Теорема доказана.

Доказанная теорема имеет наглядный геометрический смысл. Если рассмотреть линейное уравнение a 1 x 1 + … + a n x n = c , где х i R , то как известно из геометрии, оно определяет в пространстве R n гиперплоскость, полученную из плоскости L c однородным уравнением a 1 x 1 + … +a n x n =0 , проходящей через начало координат, сдвигом на некоторый вектор R n . Поверхность вида + L называют также линейным многообразием с направляющим пространством L и вектором сдвига . Таким образом, доказано, что общее решение М диофантова уравнения a 1 x 1 + … + a n x n = c состоит из всех точек некоторого линейного многообразия, имеющих целые координаты. При этом координаты вектора сдвига тоже целые, а множество L решений однородного диофантова уравнения a 1 x 1 + … + a n x n = 0 состоит из всех точек направляющего пространства с целыми координатами. По этой причине часто говорят, что множество решений произвольного диофантова уравнения образует линейное многообразие с вектором сдвига и направляющим пространством L .

Пример: для диофантова уравнения х – у = 1 общее решение M имеет вид (1+у; у), где у Z , его частное решение = (1; 0) , а общее решение L однородного уравнения х – у = 0 запишется в виде (у; у) , где у Z . Таким образом, можно нарисовать следующую картинку, на которой решения исходного диофантова уравнения и соответствующего однородного диофантова уравнения изображены жирными точками в линейном многообразии М и пространстве L соответственно.

2. Найти общее решение диофантова уравнения 12x + 21y – 2z = 5 .

Частное решение (10; –5; 5) этого уравнения было найдено ранее, найдём общее решение однородного уравнения 12x + 21y – 2z = 0 , эквивалентного диофантову уравнению 12 x + 21 y = 2 z .

Для разрешимости этого уравнения необходимо и достаточно выполнение условия НОД(12, 21) = 3 | 2z, т.е. 3 | z или z = 3t для некоторого целого t . Сокращая обе части на 3 , получим 4x + 7y = 2t . Частное решение (2; –1) диофантова уравнения 4x + 7y = 1 найдено в предыдущем примере. Поэтому (4t ; –2t) – частное решение уравнения 4x + 7y = 2t при любом

t Z . Общее решение соответствующего однородного уравнения

(7 u ; –4 u ) уже найдено. Таким образом, общее решение уравнения 4x + 7y = 2t имеет вид: (4t + 7 u ; –2t – 4 u ) , а общее решение однородного уравнения 12x + 21y – 2z = 0 запишется так:

(4t + 7 u ; –2t – 4 u ; 3t) .

Нетрудно убедиться, что этот результат соответствует сформулированной выше без доказательства теореме о решениях однородного диофантова уравнения а 1 х 1 + … + а n х n = 0 : если Р = , то Р и

(u ; t ) P – общее решение рассматриваемого однородного уравнения.

Итак, общее решение диофантова уравнения 12x + 21y – 2z = 5 выглядит так: (10 + 4t + 7 u ; –5 – 2t – 4 u ; 5 + 3t) .

3. На примере предыдущего уравнения проиллюстрируем другой метод решения диофантовых уравнений от многих неизвестных, который состоит в последовательном уменьшении максимального значения модулей его коэффициентов.

12x + 21y – 2z = 5 12x + (102 + 1)y – 2z = 5

12x + y – 2(z – 10y) = 5

Таким образом, общее решение рассматриваемого уравнения можно записать и так: (x; 5 – 12x + 2u ; 50 – 120x + 21u) , где x, u – произвольные целые параметры.

§ 2. Диофантово уравнение x 2 – y 2 = a

Примеры: 1. При a = 0 получаем бесконечное число решений: x = y или x = – y для любого y Z .

2. При a = 1 имеем x 2 – y 2 = 1 (x + y )(x – y ) = 1 . Таким образом, число 1 разложено в произведение двух целых множителей x + y и x – y (важно, что x , y – целые!). Поскольку у числа 1 всего два разложения в произведение целых множителей 1 = 11 и 1 = (–1)(–1) , то получаем две возможности: .

3. Для a = 2 имеем x 2 – y 2 = 2 (x + y )(x – y ) = 2. Действуя аналогично предыдущему, рассматриваем разложения

2=12=21=(–1)(–2)=(–2)(–1), составляем системы: , которые, в отличие от предыдущего примера, не имеют решений. Так что нет решений и у рассматриваемого диофантова уравнения x 2 – y 2 = 2.

4. Предыдущие рассмотрения наводят на некоторые выводы. Решения уравнения x 2 – y 2 = a находятся по разложению a = km в произведение целых чисел из системы . Эта система имеет целые решения тогда и только тогда, когда k + m и k – m чётны, т.е. когда числа k и m одной чётности (одновременно чётны или нечётны). Таким образом, диофантово уравнение x 2 – y 2 = a имеет решение тогда и только тогда, когда a допускает разложение в произведение двух целых множителей одной чётности. Остаётся только найти все такие a .

Теорема (об уравнении x 2 – y 2 = a ). (1) Уравнение x 2 – y 2 = 0 имеет бесконечное множество решений .

(2) Любое решение уравнения получается имеет вид , где a = km – разложение числа a в произведение двух целых множителей одной чётности.

(3) Уравнение x 2 – y 2 = a имеет решение тогда и только тогда, когда a 2 (mod 4).

Доказательство. (1) уже доказано.

(2) уже доказано.

(3) () Пусть вначале диофантово уравнение x 2 – y 2 = a имеет решение. Докажем, что a 2 (mod 4) . Если a = km – разложение в произведение целых чисел одной чётности, то при чётных k и m имеем k = 2 l , m = 2 n и a = km = 4 ln 0 (mod 4) . В случае же нечётных k , m их произведение a также нечётно, разность a – 2 нечётна и не делится на 4 , т.е. снова

a 2 (mod 4).

() Если теперь a 2 (mod 4) , то можно построить решение уравнения x 2 – y 2 = a . Действительно, если a нечётно, то a = 1 a – разложение в произведение целых нечётных чисел, так что – решение диофантова уравнения. Если же a чётно, то ввиду a 2 (mod 4) получаем, что 4 | a , a = 4 b = 2(2 b ) – разложение в произведение целых чётных чисел, так что – решение диофантова уравнения.

Теорема доказана.

Примеры: 1. Диофантово уравнение x 2 – y 2 = 2012 не имеет решений, т.к. 2010 = 4502 + 2 2 (mod 4).

2. Диофантово уравнение x 2 – y 2 = 2011 имеет решения, т.к.

2011 3 (mod 4). Имеем очевидные разложения

2011 = 12011 = 20111 = (–1)(–2011) = (–2011)(–1),

по каждому из которых находим решения (комбинации знаков любые). Других решений нет, т.к. число 2011 простое (?!).

§ 3. Диофантово уравнение x 2 + y 2 = a

Примеры: 1. 0 = 0 2 + 0 2 , 1 = 0 2 + 1 2 , k 2 = 0 2 + k 2 . Таким образом, очевидно, любой квадрат тривиальным образом представим в виде суммы двух квадратов.

2. 2 = 1 2 + 1 2 , 5 = 1 2 + 2 2 , 8 = 2 2 + 2 2 , 10 = 1 2 + 3 2 , 13 = 2 2 + 3 2 , 17 = 1 2 + 4 2 , 18 = 3 2 + 3 2 , 20 = 2 2 + 4 2 , …

3. Решений нет для a = 3, 6 = 23, 7, 11, 12 = 2 2 3, 14 = 27, 15 = 35, 19, 21 = 37, 22 = 211, 23, 24 = 32 3 , …

Анализ приведённых результатов способен навести на мысль, что отсутствие решений каким-то образом связано с простыми числами вида

4 n +3 , присутствующими в разложении на множители чисел, не представимых в виде сумм двух квадратов.

Теорема (о представлении натуральных чисел суммами двух квадратов). Натуральное число a представимо в виде суммы двух квадратов тогда и только тогда, когда в его каноническом разложении простые числа вида 4 n + 3 имеют чётные показатели степеней.

Доказательство. Вначале докажем, что если натуральное число a представимо в виде суммы двух квадратов, то в его каноническом разложении все простые числа вида 4 n + 3 должны иметь чётные показатели степеней. Предположим, вопреки доказываемому, что a = р 2 k +1 b = x 2 + y 2 , где

р – простое число вида 4 n +3 и b p . Представим числа х и у в виде

х = Dz , y = Dt , где D = НОД(x , y ) = р s w , p w ; z , t , s N 0 . Тогда получаем равенство р 2 k +1 b = D 2 (z 2 + t 2 ) = р 2 s w 2 (z 2 + t 2 ) , т.е. р 2( k – s )+1 b = w 2 (z 2 + t 2 ) . В левой части равенства присутствует p (нечётная степень не равна нулю), значит, на простое число p делится один из множителей в правой части. Поскольку p w , то р | (z 2 + t 2 ) , где числа z , t взаимно просты. Это противоречит следующей лемме (?!).

Лемма (о делимости суммы двух квадратов на простое число вида

4 n + 3 ). Если простое число р = 4 n +3 делит сумму квадратов двух натуральных чисел, то оно делит каждое из этих чисел.

Доказательство. От противного. Пусть x 2 + y 2 0(mod p ) , но x 0(mod p ) или y 0 (mod p ) . Поскольку x и y симметричны, их можно менять местами, так что можно предполагать, что x p .

Лемма (об обратимости по модулю p ). Для любого целого числа x , не делящегося на простое число p , существует обратный элемент по модулю p – такое целое число 1 u < p , что xu 1 (mod p ).

Доказательство. Число x взаимно простое с p , поэтому можно записать линейное разложение НОД(x , p ) = 1 = xu + pv (u , v Z ) . Ясно, что xu 1(modp ) , т.е. u – обратный элемент к x по модулю p . Если u не удовлетворяет ограничению 1 u < p , то поделив u с остатком на p , получим остаток r u (mod p ) , для которого xr xu 1 (mod p ) и 0 r < p .

Лемма об обратимости по модулю p доказана.

Умножая сравнение x 2 + y 2 0 (mod p ) на квадрат u 2 обратного элемента к x по модулю p , получим 0 = 0u 2 x 2 u 2 + y 2 u 2 = (xu) 2 + (yu) 2 1 + t 2 (mod p).

Таким образом, для t = yu выполнено сравнение t 2 –1 (mod p ) , которое и приведём к противоречию. Ясно, что t p : иначе t 0 (mod p ) и 0 t 2 –1 (mod p ) , что невозможно. По теореме Ферма имеем t p –1 1 (mod p ), что вместе с t 2 –1 (mod p ) и p = 4 n + 3 приводит к противоречию:

1 t p–1 = t 4n+3–1 = t 2(2n+1) = (t 2 ) 2n+1 (–1) 2n+1 = –1 (mod p).

Полученное противоречие показывает, что допущение о x 0 (mod p ) было не верным.

Лемма о делимости суммы двух квадратов на простое число 4 n +3 доказана.

Таким образом, доказано, что число, в каноническое разложение которого входит простое число p = 4 n + 3 в нечётной степени, не представимо в виде суммы двух квадратов.

Докажем теперь, что любое число, в каноническом разложении которого простые числа p = 4 n + 3 участвуют только в чётных степенях, представимо в виде суммы двух квадратов.

Идея доказательства основана на следующем тождестве:

(а 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) = (ac – bd) 2 + (ad + bc) 2 ,

которое можно получить из известного свойства модуля комплексных чисел – модуль произведения равен произведению модулей. Действительно,

| z || t | = | zt | | a + bi || c + di | = |(a + bi )(c + di )|

|a + bi| 2 |c + di| 2 = |(ac – bd) + (ad + bc)i| 2

(а 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) = (ac – bd) 2 + (ad + bc) 2 .

Из этого тождества следует, что если два числа u, v представимы в виде суммы двух квадратов: u = x 2 + y 2 , v = z 2 + t 2 , то и их произведение uv представимо в виде суммы двух квадратов: uv = (xz – yt ) 2 + (xt + yz ) 2 .

Любое натуральное число a > 1 можно записать в виде a = р 1 … р k m 2 , где р i – попарно различные простые числа, m N . Для этого достаточно найти каноническое разложение , записать каждую степень вида r в виде квадрата (r ) 2 при чётном = 2, или в виде r = r (r ) 2 при нечётном = 2 + 1 , а затем сгруппировать отдельно квадраты и оставшиеся одиночные простые числа. Например,

29250 = 23 2 5 3 13 = 2513(35) 2 , m = 15.

Число m 2 обладает тривиальным представлением в виде суммы двух квадратов: m 2 = 0 2 + m 2 . Если доказать представимость в виде суммы двух квадратов всех простых чисел р i (1 i k ) , то используя тождество, будет получено и представление числа a. По условию, среди чисел р 1 , … , р k могут встретиться только 2 = 1 2 + 1 2 и простые числа вида 4 n + 1 . Таким образом, осталось получить представление в виде суммы двух квадратов простого числа р = 4т + 1 . Это утверждение выделим в отдельную теорему (см. ниже)

Например, для a = 29250 = 2513(15) 2 последовательно получаем:

2 = 1 2 + 1 2 , 5 = 1 2 + 2 2 , 13 = 2 2 + 3 2 ,

25 = (11 – 12) 2 + (12 + 11) 2 = 1 2 + 3 2 ,

2513 = (12 – 33) 2 + (13 + 32) 2 = 7 2 + 9 2 ,

29250 = 2513(15) 2 = (715) 2 + (915) 2 = 105 2 + 135 2 .

Теорема доказана.

§ 4. Уравнение х+ х + 1 = 3у

Займемся теперь уравнением х+x+1=Зу. Оно уже имеет свою историю. В 1950 г. Р. Облат высказал предположение, что, кроме решения

x =у=1 . оно не имеет иных решений в натуральных числах х, у , где х есть нечетное число. В том же году Т. Нагель указал решение x = 313, у =181. Метод, аналогичный изложенному выше для уравнения х+х-2у=0 , позволит нам определить все решения уравнения x +х+1=3у (1)

в натуральных числах x , у. Предположим, что (х, у) есть решение уравнения (1) в натуральных числах, причем х > 1 . Можно легко убедиться, что уравнение(18) не имеет решений в натуральных числах x , у , где х = 2, 3. 4, 5, 6, 7, 8, 9; поэтому должно быть х10.

Покажем, что 12у<7 x +3, 7у>4 x + 2. 4у> 2 x +1 . (2)

Если бы было 12y > 7x+3 , мы имели бы 144у > 49 x +42 x +9 . а так как, в виду (18), 144у= 48 x + 48 x + 48 , то было бы х < 6 x +3 9, откуда

(х-З) < 48 и, значит, учитывая, что x > 10, 7 < 148 , что невозможно. Итак, первое из неравенств (2) доказано.

Если бы было 7у < 4 x +2 , мы имели бы 49у < 16 x + 16 x +4 , а так как, ввиду (1), 16 x + 16 x + 16 = 48у , то было бы 49у < 48у- 12 , что невозможно. Таким образом, доказано второе из неравенств (2), из которого уже непосредственно вытекает третье. Итак, неравенства (2) верны.

Положим теперь

w = 7х - 12у+3, h = -4 x + 7у-2 . (3)

На основании (2), найдем, что w > 0 , h > 0 и х - w =3(4 y -2 x -1)>0 и, значит, w <х . Согласно (3), имеем w 2 + w +1=3 h 2 откуда, ввиду (1), Примем g(x, у) = (7х- 12у + 3, -4x + 7у -2) .

Итак, можно сказать, что, исходя из любого решения (х, у) уравнения (1) в натуральных числах, где х > 1 , мы получаем новое решение (w , h ) = g(x, у) уравнения (1) в натуральных числах w , h где w < х (и значит, решение в меньших натуральных числах). Отсюда, действуя как выше, найдем, что для каждого решения уравнения (1) в натуральных числах х, у , где х > 1 , существует натуральное число n такое, что g(x, y) = (l, 1).

Приняв же f(x, у) = (7 x +12у + 3, 4 x + 7у + 2) , (4) легко найдем, что f(g(x,y)) = (x, у) и, следовательно, (x , y ) = f (1,1) С другой стороны, легко проверить, что если (х, у) есть решение уравнения (1) в натуральных числах, то f (x , y ) также есть решение уравнения (1) в натуральных числах (соответственно больших, чем х и у ).

Приняв x=y=1(x, y) = f(1, 1) для n =2,3,…..,

получим последовательность { x , y } для n = 1, 2,….., содержащую все решения уравнения (1) в натуральных числах и только такие решения.

Здесь мы имеем (х, y )= f (1,1)= f (x, y), следовательно, в силу (4), получаем

х= 7 x +12 y+3, y =4 x+7 y+2 (5) (n =1, 2, ...)

Формулы, позволяющие последовательно определять все решения (х, у) уравнения (1) в натуральных числах. Таким путем легко получаем решения (1,1),(22,13),(313,181),.(4366,2521),(60817,35113),..

Этих решений имеется, очевидно, бесконечное множество. Из равенств

х= у= 1 и (4) при помощи индукции легко находим, что числа х с нечетными индексами суть нечетные, с четными же - четные, а числа y суть нечетные для n = 1, 2, ... Для получения всех решений уравнения (1) в целых числах х, у , как нетрудно доказать, следовало бы к уже полученным решениям (x, y) присоединить (x, -y) и (-x-1, ±y) для n =1, 2, .. .

Так что здесь мы имеем, например, еще такие решения: (-2,1) (-23,13), (-314,181). А. Роткевич заметил, что из всех решений уравнения (1) в натуральных числах х > 1 и у можно получить все решения уравнения (z+1)- z = y (6)

в натуральных числах z, у. В самом деле, допустим, что натуральные числа z,у удовлетворяют уравнению (5). Положив x=3z+l , получим, как легко проверить, натуральные числа х > 1 и у , удовлетворяющие уравнению (1).

С другой стороны, если натуральные числа х > 1 и у удовлетворяют уравнению (1), то имеем, как легко проверить, (х- 1)= 3(у-х) , откуда следует, что число (натуральное) х-1 делится на 3 , следовательно х-1= 3 z, где z есть натуральное число, причем имеет место равенство 3z= y- x =у3 z -1 , которое доказывает, что числа z и у удовлетворяют уравнению (6). Таким образом, исходя из решений (22,13),(313,181), (4366,2521) уравнения (1), получаем решения (7,13),(104,181),(1455,2521) уравнения (6). Заметим здесь еще, что если натуральные числа z, у удовлетворяют уравнению (6), то доказано, что у есть сумма двух последовательных квадратов, например 13=2+3,181=9+10, 2521=35+ 36 . Подобным образом, как прежде для уравнения(1), мы могли бы найти все решения уравнения x +(x +1)= y в натуральных числах х, у , приняв для х > 3 g(x. у) = (3х -2у+1, 3у - 4х- 2) и для x > 1 f(x, y) = (3 x + 2y+l, 4х + Зу + 2), что приводит к формуле (х, у) f (3,5) и к выводу, что все решения уравнения (6) в натуральных числах х, у содержатся в последовательности { x , y } для n = 1, 2,…., где х= 3, у= 5, а x =3 x +2 y +1 . y = 4 x +3 y +2 (n =1, 2, ...). Например, х=3 3+2 5+1=20, у= 4 3+З 5 + 2 = 29; x =119, у=169: x =69б, у= 985; x =4059, у=5741.

Геометрический смысл рассмотренного уравнения состоит в том, что оно дает все пифагоровы треугольники (прямоугольные с натуральными сторонами), катеты которых выражаются последовательными натуральными числами. Таких треугольников имеется бесконечное множество (*).

Уравнение же x +(x +1)= y , как доказано, не имеет решений в натуральных числах х, у .

Министерство образования и науки Республики Казахстан

Восточно-Казахстанская область

Направление: математическое моделирование экономических и социальных процессов.

Секция: математика

Тема: Решение диофантовых уравнений первой и второй степени

Жумадилов Эльдар,

Буркутова Амина,

ГУ «Экономический лицей»

Руководитель:

Дранная Наталия Александровна

ГУ «Экономический лицей»

Консультант:

Заведующий кафедрой математики и методики преподавания математики Семипалатинского государственного педагогического института, кандидат физико- математических наук, доцент

Жолымбаев Оралтай Муратханович

Усть-Каменогорск

Введение……………………………………………………………...….3

Глава 1.О диофантовых уравнениях.......................................................4

Глава 2.Методы решения.........................................................................6

2.1.Алгоритм Евклида......................................................................6

2.2.Цепная дробь...............................................................................8

2.3.Метод разложения на множители.............................................9

2.4.ИСпользование четности...........................................................10

2.5.Другие методы решения диофантовых уравнений.................10

Заключение...............................................................................................12

Список литературы..................................................................................13

Приложение.............................................................................................14

Введение

«Достопочтеннейший Дионисий, зная, что ты ревностно хочешь научиться решению задач, касающихся чисел, я попытался изложить природу их и могуще­ство, начиная с тех оснований, на которых покоится эта наука.

Может быть, этот предмет покажется тебе затруднительным, поскольку ты еще с ним незнаком, а начинающие не склонны надеяться на успех. Но он станет тебе удобопонятным благодаря твоему усердию и моим пояснениям, ибо страстная любовь к науке помогает быстро воспринять учение»

Таким посвящением открывается «Арифметика» Диофанта Александрий­ского.

Диофант представляет одну из занимательных загадок в истории математики. Мы не знаем, кем был Диофант, точные года его жизни, нам не известны его предшественники, которые работали бы в той же области, что и он.

На могиле Диофанта есть стихотворение-загадка, решая которую нетрудно подсчитать, что Диофант прожил 84 года. О времени жизни Диофанта мы можем судить по работам французского исследователя науки, Поля Таннри, и это, веро­ятно, середина 3 в.н.э.

Наиболее интересным представляется творчество Диофанта. До нас дошло 7 книг из 13, которые были объединены в “Арифметику”.

В этой книге Диофант (3 век) суммировал и расширил накопленный до него опыт решения неопределенных алгебраических уравнений в целых или рацио­нальных числах. С тех пор эти уравнения стали называться диофантовыми.

Вот примеры таких уравнений: х 2 +у 2 =z 2 , х 2 = у 3 +5у + 7.

Интерес к диофантовым уравнениям связан, видимо, с самой природой чело­века – сохранившиеся документы обнаруживают его следы в глубине тысячеле­тий. Еще в Древнем Вавилоне занимались поисками пифагоровых троек – цело­численных решений уравнения

х 2 +у 2 =z 2 .

Диофантовы уравнения позволяют решать алгебраические задачи в целых числах. «Арифметика» Диофанта легла в основу теории чисел нового времени.

Цель данного исследования: найти различные методы решения неопределенных уравнений.

Задачи исследования: научиться решать неопределенные уравнения первой и второй степени с помощью алгоритма Евклида, с помощью цепных дробей или разложением уравнения на множители

Глава 1. О диофантовых уравнениях.

Диофантовыми уравнениями называют алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, для которых надо найти целые или рациональные решения. При этом число неиз­вестных в уравнениях должно быть не менее двух (если не ограничиваться только целыми числами). Диофантовы уравнения имеют, как правило, много решений, поэтому их называют неопределенными уравнениями.

К диофантовым уравнениям приводят задачи, по смыслу которых неизвест­ные значения величин могут быть только целыми числами.

Рассмотрим одну задачу: За покупку нужно уплатить 1700 р. У покупателя имеются купюры только по 200 и 500 р. Какими способами он может распла­титься? Для ответа на этот вопрос достаточно решить уравнение 2х +5у = 17 с двумя неизвестными х и у. Такие уравнения имеют бесконечное множество реше­ний. В частности, полученному уравнению отвечает любая пара чисел вида
. Для нашей практической задачи годятся только целые неотрицатель­ные значения х и у (рвать купюры на части не стоит). Поэтому приходим к поста­новке задачи: найти все целые неотрицательные решения уравнения 2х +5у = 17. Ответ содержит уже не бесконечно много, а всего лишь две пары чисел (1;3) и (6; 1).

Таким образом, особенности диофантовых задач заключаются в том, что: 1) они сводятся к уравнениям или систе­мам уравнений с целыми коэффициентами; 2) решения требуется найти только целые, часто натуральные.

Перед тем как рассмотреть методы решения неопределенных уравнений представим некоторые определения и утверждения, необходимые для дальнейшего изложения.

Делимость

Определение Пусть a,b  Z , b ≠ 0. Числа q  Z и r  {0,1,...,|b|-1} называются соответственно неполным частным и остатком от деления a на b, если выполнено равенство

При этом, если r = 0, то говорят, что a делится на b, или что b является делите­лем a (обозначение a b или b| a).

Диофантовы уравнения можно записать в виде

P(x 1 , x 2 , ..., x n) = 0,

где P(x 1 , ..., x n) - многочлен с целыми коэффициентами.

При исследовании диофантовых уравнений обычно ставятся следующие во­просы:

имеет ли уравнение целочисленные решения;

конечно или бесконечно множество его целочисленных решений;

решить уравнение на множестве целых чисел, т. е. найти все его целочислен­ные решения;

решить уравнение на множестве целых положительных чисел;

решить уравнение на множестве рациональных чисел.

Отметим, что проблема решения уравнений в целых числах решена до конца только для уравнений с одним неизвестным, для уравнений первой степени и для уравнений второй степени с двумя неизвестными. Для уравнений выше второй степени с двумя или более неизвестными достаточно трудной является даже за­дача существования целочисленных решений. Например, не известно, имеет ли уравнение

x 3 + y 3 + z 3 = 30

хотя бы одно целочисленное решение. Более того, доказано, что в принципе не существует единого алгоритма, позволяющего за конечное число шагов решать в целых числах произвольные диофантовы уравнения.

Глава 2. Методы решения.

2.1 Алгоритм Евклида.

Можно найти наибольший общий делитель натуральных чисел а и b, не раскладывая эти числа на простые множители, а применяя процесс деления с ос­татком. Для этого надо разделить большее из этих чисел на меньшее, потом меньшее из чисел на остаток при первом делении, затем остаток при первом деле­нии на остаток при втором делении и вести этот процесс до тех пор, пока не произойдет деление без остатка (т.к. остатки убывают, то это на каком-то шаге случится). Последний отличный от нуля остаток и есть искомый НОД (а, b).

Чтобы доказать это утверждение, представим описанный процесс в виде следующей цепочки равенств: если а>b, то

Здесь r 1 , …, r n – положительные остатки, убывающие с возрастанием но­мера. Из первого равенства следует, что общий делитель чисел а и b делит r 1 и общий делитель b и r 1 делит а, поэтому НОД (а, b) = НОД (b, r 1). Переходя к сле­дующим равенствам системы, получаем:

НОД(а, b) = НОД (b, r 1) = НОД (r 1, r 2) = …

…= НОД (r n -1 , r n) = НОД (r n , 0) = r n .

Таким образом, решая диофантовы уравнения первой степени ax + by = с, можно применять следующие теоремы:

Теорема1.. Если НОД (a, b) = 1, то уравнение ax + by = 1 имеет, по меньшей мере, одну пару (x, y) целого решения.

Теорема 2. Если НОД (a, b) = d > 1, и число с не делится на d, то уравнение ах + by = с не имеет целого решения.

Доказательство. Предположим, что уравнение ах + by = с имеет целое реше­ние (х 0 , y 0). Так как, аd, bd, то получим, что с = (ах + by)d. Это противоречит условиям теоремы и тем самым теорема доказана.

Теорема 3. Если НОД (a, b) = 1,то все целые решения уравнения ах + by = с опре­деляются формулой:

х = х 0 с + bt

Здесь (х 0 , y 0) – целое решение уравнения ах + by = 1, а t – произвольное целое число.

Пример 1. Решить в целых числах уравнение 54х + 37у = 1.

По алгоритму Евклида а = 54, b = 37. Подставляем данные под алгоритм и получаем:

54=371+17, остаток от деления 17 = 54-371

37 = 172+3 , 3 = 37-172

17 = 35+2 , 2 = 17- 35

3 = 21+1 , 1 = 3 - 21

После нахождения единицы выражаем через неё значения а и b:

1 = 3 – (17-35);

1 = 17 - (37- 172) 4;

1 = 17 - 374+178;

1 = 179 – 374;

1 = (54- 371) 9 - 374;

1 = 549 - 379 - 374;

Следовательно, х 0 = 9, у 0 = -13. Значит, данное уравнение имеет следующее решение
.

Пример 2. Требуется найти целое решение уравнения 15x + 37y = 1.

1-й метод. Воспользуемся разложением единицы:

1 = 15*5 + 37*(-2).Ответ: x = 5, y = -2.

2-й метод. Применяя алгоритм Евклида, имеем: 37 = 15*2 + 7, 15 = 2*7 + 1. Отсюда 1 = 15 – 2*7 = 15 – 2(37 – 15*2) = 15*5 + (-2)*37. Тогда x о = 5, y о = - 2. Общее решение уравнения есть система .

Пример 3 . В уравнении 16x + 34y = 7, НОД (16, 34) = 2 и 7 не делится на 2,то нет целых решений.

2.2 Цепная дробь

Одним из применений алгоритма Евклида является представление дроби в виде

Где q 1 – целое число, а q 2 , … ,q n – натуральные числа. Такое выражение на­зывается цепной (конечной непрерывной) дробью.

Уравнение:

с взаимно простыми коэффициентами a и b имеет решение

,
,

где
- предпоследняя подходящая дробь к цепной дроби, в которую раскладывается дробь .

Доказательство:

Если для заданной цепной дроби с последовательными частными q 1 , q 2 ,…,q n несократимые дроби

, , …,

являются результатами свертывания подходящих дробей
,
, и т.д. , порядка 1, 2, …, n соответственно,то

,
, …, n.

При k = n получаем:

,

Где - последняя подходящая дробь к цепной дроби, в которую раскладывается дробь . Так как дроби и несократимы, то , и

.

Умножая обе части последнего равенства на (-1) n , имеем

То есть пара чисел , , где n-порядок цепной дроби, является решением уравнения .

Пример. Для перевозки большого количества контейнеров по 170 кг и по 190 кг выделены трехтонные машины. Можно ли ими загружать машины полно­стью?

Решение:

Пусть х и у количество контейнеров по 170 и 190 кг соответственно, тогда имеем уравнение

170х+190у=3000

После сокращения на 10 уравнение выглядит так,

Для нахождения частного решения воспользуемся разложением дроби в цепную дробь

Свернув предпоследнюю подходящую к ней дробь в обыкновенную

Частное решение данного уравнения имеет вид

х 0 = (-1) 4 300*9=2700, у 0 =(-1) 5 300*8=-2400,

а общее задается формулой

х=2700-19k, y= -2400+17k.

откуда получаем условие на параметр k

Т.е. k=142, x=2, y=14. .

2.3 Метод разложения на множители

Данный метод и все последующие применяются к решению диофантовых уравнений второй степени.

Задача 1.

Решение. Запишем уравнение в виде

(x - 1)(y - 1) = 1.

Произведение двух целых чисел может равняться 1 только в том случае, когда оба они равны 1. Т. е. исходное уравнение равносильно совокупности

с решениями (0,0) и (2,2).

2.4 Использование четности

Задача 2. Решить в простых числах уравнение

x 2 - 2y 2 = 1.

Решение. Рассмотрим два случая в зависимости от четности переменной x.

a) Пусть x - нечетное число. Подстановка x = 2t + 1 приводит исходное уравне­ние к виду

(2t + 1) 2 - 2y 2 = 1,

2y 2 = 4t(t + 1).

Следовательно, 2 | y 2 . Так как y - простое число, то y = 2. Отсюда

b) Пусть x - четное число. Так как x - простое число, то x = 2. Следовательно, т. е. уравнение неразрешимо в простых числах.

Следовательно, уравнение имеет в классе простых чисел единственное реше­ние (3;2).

2.5 Другие методы решения диофантовых уравнений

Задача 3. Доказать, что уравнение

x 2 - 2y 2 = 1

имеет бесконечно много решений в натуральных числах.

Решение. Нетрудно заметить, что (3,2) - одно из решений исходного уравне­ния. С другой стороны из тождества

(x 2 + 2y 2) 2 - 2(2xy) 2 = (x 2 - 2y 2) 2

следует, что если (x, y) - решение данного уравнения, то пара (x 2 + 2y 2 , 2xy) также явля­ется его решением. Используя этот факт, рекуррентно определим бесконеч­ную последовательность (x n , y n) различных решений исходного уравнения:

(x 1 , y 1) = (3,2) и x n +1 = x n 2 + 2y n 2 , y n +1 = 2x n y n , n  N * .

Задача 4. Доказать, что уравнение

x(x + 1) = 4y(y + 1)

неразрешимо в целых положительных числах.

Решение. Нетрудно заметить, что исходное уравнение равносильно уравнению

x 2 + x + 1 = (2y + 1) 2 .

Следовательно, x 2

Задача 5. Решить в целых числах уравнение

x + y = x 2 - xy + y 2 .

Решение. Положим t = x + y. Так как

то должно выполняться неравенство откуда t  .

Заключение:

Современное обозначение непрерывных дробей предложил выдающийся учёный Христиан Гюйгенс (1629-1695).

К цепным дробям Гюйгенс обратился при построении планетария в Париже. Он хотел получить наилучшее приближение для отношения периодов обращения планет. Эти отношения и отношения чисел зубцов соответствующих связанных между собой шестерён планетария должны были совпадать. Но числа зубцов шестерен по техническим причинам не могут быть очень большими. Необходимо было так их подобрать, чтобы полученные отношения как можно меньше отличались от истинных. Гюйгенс обратился к цепным дробям и с их помощью нашел решение стоящей перед ним задачи.

В заключении отметим преимущества и недостатки цепных дробей по сравнению, например, с десятичными. Удобство заключается в том, что их свойства не связаны ни с какой системой счисления. По этой причине цепные дроби эффективно используются в теоретических исследованиях. Но широкого практического применения они не получили, так как для них нет удобных правил выполнения арифметических действий, которые имеются для десятичных дробей.

Данная тема актуальна тем, что диофантовы уравнения используются так же в инженерии, биологии и т.д. Например, при подсчете хромосом первого поколе­ния.

Для начала выберем пять случайных решений: 1=

Хромосома

1-е поколение хромосом и их содержимое.

Главное свойство диофантовых уравнений в том, что мы не перебираем все варианты решений подряд, а приближаемся от случайно выбранных решений к лучшим.

Список литературы

Журнал «Квант» 1970г. №7

«Энциклопедия юного математика» 520 с.

Виленкин Н.Я. «За страницами учебника математики» (10-11 класс).- Москва: «Просвещение» 1996-320 с.

http:// festival .1 september . ru / articles /417558/

Шыныбеков Н.А. «Алгебра 8» Алматы «Атамұра» 2004-272 с.

И.Н.Сергеев «Примени математику» 1989г.- 240 с.

1. http:// ilib . mirror 1. mccme . ru / djvu / serp - int _ eq . htm

   Кожегельдинов С.Ш. «Некоторые элементы теории диофантовых уравнений в упражнениях и задачах»

   Пичугин Л.Ф. «За страницами учебника алгебры», М., 1990г., 224с.

   Глейзер Г.И. «История математики в школе 10-11», 351с

   Гусев В.А., Орлов А.И. и др. «Внеклассная работа по математике в 6-8 классах», М., 1984г., 286 с.

   Петраков И.А. «Математика для любознательных», М., 2000г. 256с.

   http://bse.sci-lib.com/article028554.html

   http://bars-minsk.narod.ru/teachers/diofant.html

Приложение

Решить в целых числах уравнение 127x - 52y + 1 = 0. Ответ: x = 9 + 52t, y = 22 + 127t, t  Z .

Решить в целых числах уравнение 107х + 84у = 1.

Решить в целых числах уравнение 3x 2 + 4xy - 7y 2 = 13. Указание. Применить разложение на множители.
Ответ: (2,1), (-2,-1).

Доказать, что уравнение y 2 = 5x 2 + 6 не имеет целочисленных решений.
Указание. Рассмотреть уравнение по модулю 4.

Доказать, что уравнение x 2 - 3y 2 = 1 имеет бесконечно много решений в целых числах.
Указание. Использовать реккурентное соотношение между решениями.

Решить уравнение: 17х +13у=5.

Докажите, что любую денежную сумму, выраженную целым числом рублей, большим 7, можно уплатить без сдачи, имея лишь трёхрублёвые и пятирублёвые купюры в достаточном количестве.

Требуется разлить 20,5 литра сока в банки по 0,7 литра и 0,9 литра так, чтобы все банки оказались полными. Сколько каких банок надо заготовить? Какое наименьшее количество банок при этом может понадобиться?

Причем, с тремя неизвестными, а также решают...

1. Генетические алгоритмы и их практическое применение

   Задача >> Информатика

   Strategies). Ближе ко второму полюсу - системы, которые... идеях адаптации и эволюции. Степень мутации в данном случае... математика Диофанта.26 Рассмотрим диофантово уравнение : a+2b+3c+4d ... Коэффициенты выживаемости первого поколения хромосом (набора решений ) Так...

2. Выдающаяся роль Леонарда Эйлера в развитии алгебры геометрии и теории чисел

   Дипломная работа >> Исторические личности

   ... решении уравнений . Он указывал, что решение уравнений второй , третьей и четвертой степеней приводится к уравнениям соответственно первой , второй и третьей степени ; эти последние уравнения ... целочисленном решении систем диофантовых уравнений высших степеней и...

3. Моделирование парожидкостного равновесия в четырехкомпонентной смеси ацетонтолуолн-бутанолдиметилформамид

   Дипломная работа >> Химия

   Являются составляющими единой системы диофантовых уравнений и взаимно дополняют... Эффективность принимаемых решений в значительной степени определяется особенностями... молекулу первого компонента, другой – молекулу второго компонента. Согласно уравнению ...

Чтобы решить линейное диофантово уравнение, нужно найти значения переменных «x» и «y», которые являются целыми числами. Целочисленное решение сложнее обычного и требует определенного набора действий. Сначала необходимо вычислить наибольший общий делитель (НОД) коэффициентов, а затем найти решение. Если вы нашли одно целочисленное решение линейного уравнения, можно применить простой шаблон, чтобы найти бесконечное множество других решений.

Шаги

Часть 1

Как записать уравнение

Запишите уравнение в стандартной форме. Линейное уравнение - это уравнение, в котором показатели степени переменных не превышают 1. Чтобы решить такое линейное уравнение, сначала запишите его в стандартной форме. Стандартная форма линейного уравнения выглядит так: A x + B y = C {\displaystyle Ax+By=C} , где A , B {\displaystyle A,B} и C {\displaystyle C} - целые числа.

Упростите уравнение (если можно). Когда вы запишете уравнение в стандартной форме, посмотрите на коэффициенты A , B {\displaystyle A,B} и C {\displaystyle C} . Если у этих коэффициентов есть НОД, разделите на него все три коэффициента. Решение такого упрощенного уравнения также будет решением исходного уравнения.

Проверьте, можно ли решить уравнение. В некоторых случаях можно сразу заявить, что уравнение не имеет решений. Если коэффициент «С» не делится на НОД коэффициентов «А» и «В», у уравнения нет решений.

Часть 2

Как записать алгоритм Евклида

1. Уясните алгоритм Евклида. Это ряд повторных делений, в котором предыдущий остаток используется как следующий делитель. Последний делитель, который делит числа нацело, является наибольшим общим делителем (НОД) двух чисел.

   Примените алгоритм Евклида к коэффициентам «A» и «B». Когда вы запишете линейное уравнение в стандартной форме, определите коэффициенты «A» и «B», а затем примените к ним алгоритм Евклида, чтобы найти НОД. Например, дано линейное уравнение 87 x − 64 y = 3 {\displaystyle 87x-64y=3} .

   Найдите наибольший общий делитель (НОД). Поскольку последним делителем было число 1, НОД 87 и 64 равен 1. Таким образом, 87 и 64 являются простыми числами по отношению друг к другу.

   Проанализируйте полученный результат. Когда вы найдете НОД коэффициентов A {\displaystyle A} и B {\displaystyle B} , сравните его с коэффициентом C {\displaystyle C} исходного уравнения. Если C {\displaystyle C} делится на НОД A {\displaystyle A} и B {\displaystyle B} , уравнение имеет целочисленное решение; в противном случае у уравнения нет решений.

Часть 3

Как найти решение с помощью алгоритма Евклида

Пронумеруйте шаги вычисления НОД. Чтобы найти решение линейного уравнения, нужно использовать алгоритм Евклида в качестве основы процесса подстановки и упрощения.

Обратите внимание на последний шаг, где есть остаток. Перепишите уравнение этого шага так, чтобы изолировать остаток.

Изолируйте остаток предыдущего шага. Этот процесс представляет собой пошаговое «перемещение вверх». Каждый раз вы будете изолировать остаток в уравнении предыдущего шага.

Сделайте замену и упростите. Обратите внимание, что уравнение шага 6 содержит число 2, а в уравнении шага 5 число 2 изолировано. Поэтому вместо «2» в уравнении шага 6 подставьте выражение шага 5:

Повторите процесс подстановки и упрощения. Повторите описанный процесс, перемещаясь по алгоритму Евклида в обратном порядке. Каждый раз вы будете переписывать уравнение предыдущего шага и подставлять его в последнее полученное уравнение.

1. Продолжите процесс подстановки и упрощения. Этот процесс будет повторяться до тех пор, пока вы не достигнете первоначального шага алгоритма Евклида. Цель процесса - записать уравнение с коэффициентами 87 и 64 исходного уравнения, которое нужно решить. В нашем примере:

   • 1 = 2 (18) − 7 (5) {\displaystyle 1=2(18)-7(5)}
   • 1 = 2 (18) − 7 (23 − 18) {\displaystyle 1=2(18)-7(23-18)} (подставили выражение из шага 3)
   • 1 = 9 (64 − 2 ∗ 23) − 7 (23) {\displaystyle 1=9(64-2*23)-7(23)} (подставили выражение из шага 2)
   • 1 = 9 (64) − 25 (87 − 64) {\displaystyle 1=9(64)-25(87-64)} (подставили выражение из шага 1)