Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение Среднего профессионального образования. Димитровградский технический колледж. Проект Верещука Станислава. Тема: «Свойства и графики элементарных функций». Руководитель: преподаватель Кузьмина В.В. Димитровград 2007

1. Определение функции. 2. Линейная функция: возрастающая; убывающая; частные случаи. 3. Квадратичная функция.Квадратичная функция. 4. Степенная функция:Степенная функция: с четным натуральным показателем; с нечетным натуральным показателем; с целым отрицательным показателем; с действительным показателем. 5. Список использованной литературы.

Определение функции. Отношение между элементами двух множеств X и Y, при котором каждому элементу x первого множества соответствует один элемент у второго множества, называется функцией и записывают у = f(x). Все значения, которые принимает независимая переменная x, называют областью определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная y, называют множеством значений функций или областью значений функции. Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты равны соответствующим значениям функции.

0 и b 0): 1.Областью определения функции является множество всех действительных чисел D(f)=R. 2. Множество значений линейной функции - множество всех действительных чисел E(f)=R. 3.При k>0 функция возрастает" title="Свойства линейной функции (при условии k > 0 и b 0): 1.Областью определения функции является множество всех действительных чисел D(f)=R. 2. Множество значений линейной функции - множество всех действительных чисел E(f)=R. 3.При k>0 функция возрастает" class="link_thumb"> 5 Свойства линейной функции (при условии k > 0 и b 0): 1.Областью определения функции является множество всех действительных чисел D(f)=R. 2. Множество значений линейной функции - множество всех действительных чисел E(f)=R. 3.При k>0 функция возрастает. y=kx+b (k>0) 0 и b 0): 1.Областью определения функции является множество всех действительных чисел D(f)=R. 2. Множество значений линейной функции - множество всех действительных чисел E(f)=R. 3.При k>0 функция возрастает"> 0 и b 0): 1.Областью определения функции является множество всех действительных чисел D(f)=R. 2. Множество значений линейной функции - множество всех действительных чисел E(f)=R. 3.При k>0 функция возрастает. y=kx+b (k>0)"> 0 и b 0): 1.Областью определения функции является множество всех действительных чисел D(f)=R. 2. Множество значений линейной функции - множество всех действительных чисел E(f)=R. 3.При k>0 функция возрастает" title="Свойства линейной функции (при условии k > 0 и b 0): 1.Областью определения функции является множество всех действительных чисел D(f)=R. 2. Множество значений линейной функции - множество всех действительных чисел E(f)=R. 3.При k>0 функция возрастает"> title="Свойства линейной функции (при условии k > 0 и b 0): 1.Областью определения функции является множество всех действительных чисел D(f)=R. 2. Множество значений линейной функции - множество всех действительных чисел E(f)=R. 3.При k>0 функция возрастает">

Свойства линейной функции (при условии k

Частные случаи линейной функции: 1.Если b=0, то линейная функция задаётся формулой y=кx. Такая функция называется прямой пропорциональностью. Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат. y=кx (k>0) y=кx (k 0) y=кx (k"> 0) y=кx (k"> 0) y=кx (k" title="Частные случаи линейной функции: 1.Если b=0, то линейная функция задаётся формулой y=кx. Такая функция называется прямой пропорциональностью. Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат. y=кx (k>0) y=кx (k"> title="Частные случаи линейной функции: 1.Если b=0, то линейная функция задаётся формулой y=кx. Такая функция называется прямой пропорциональностью. Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат. y=кx (k>0) y=кx (k">

Частные случаи линейной функции: 2.Если k=0, то линейная функция задаётся формулой y=b. Такая функция называется постоянной. Графиком постоянной функции является прямая, параллельная оси Ох. Если k=0 u b=0, то график постоянной функции совпадает с осью Ох.

Свойства степенной функции с чётным натуральным показателем: 1.Область определения D(f)=R - множество всех действительных чисел. 2.Область значений E(f)=R + - множество всех неотрицательных чисел. 3.Функция является четной т.е. f(-x)=f(x). 4.Нули функции: y=0 при x=0. 5.Функция убывает от - до 0 при х (-,0]. 6.Функция возрастает от 0 до + при х .

б) точка пересечения с Оу: (0; 0) .

• а) – промежуток возрастания функции.
  • Ограничена сверху, не ограничена снизу.
  • а) у наиб. = 0;

  б) у наим. – не существует.

  • Непрерывна на множестве (–  ; +  ) .
  • Выпукла вверх.
  
  0 x 0 y = kx 2 , k " width="640"

  Квадратичная функция y= k x 2

  y = kx 2 , k0

  y = kx 2 , k

  
  

  Степенная функция y=  x

  Свойства функции y =  x :

  • D(f) = 0 х у 7 -5 [-5;7) [-5;7] (-3;5] Найдите область определения функции, график которой изображен на рисунке. 5 -3 Область определения функции – значения, которые принимает независимая переменная х. Коломина Н.Н.

    8 слайд
    

    Описание слайда:

    Множество значений функции. Множеством значений функции называется множество всех действительных значений функции у, которые она может принимать. Например, множеством значений функции у= х+1 является множество R, множеством значений функции является множество действительных чисел, больше или равных 1. у= Х2 +1 Коломина Н.Н.

    9 слайд
    

    Описание слайда:

    Найдите множество значений функции, график которой изображен на рисунке. у х 0 -6 -4 6 6 (-4;6) [-6;6] (-6;6) [-4;6] Множество значений функции – значения, которые принимает зависимая переменная у. Коломина Н.Н.

    10 слайд
    

    Описание слайда:

    Исследование функции на четность. Функция называется четной, если при всех значений х в области определения этой функции при изменения знака аргумента на противоположный значение функции не изменяется, т.е. . Например, парабола у= Х2 является четной функцией, т.к. (-Х2)= Х2 . График четной функции симметричен относительно оси оу. Коломина Н.Н.

    11 слайд
    

    Описание слайда:

    На одном из следующих рисунков изображен график четной функции. Укажите этот график. х х х х у у у у График симметричен относительно оси Oу 0 0 0 0 Коломина Н.Н.

    12 слайд
    

    Описание слайда:

    Функция называется нечетной, если при всех значениях х в области определения этой функции при изменении знака аргумента на противоположный функция изменяется только по знаку, т.е. . Например, функция у= Х3 – нечетная, т.к. (-Х)3 = -Х3. График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Свойством четности или нечетности обладает не всякая функция. Например, функция не является ни четной, ни нечетной: Х2+ Х3 (-Х)2+ (-Х)3 = Х2 – Х3; Х2 + Х3 Х2 – Х3; = / Коломина Н.Н.

    13 слайд
    

    Описание слайда:

    х х х х у у у у На одном из следующих рисунков изображен график нечетной функции. Укажите этот график. График симметричен относительно точки О. О О О О Коломина Н.Н.

    14 слайд
    

    Описание слайда:

    Среди множества функций есть функции, значения которых с увеличением аргумента только возрастают или только убывают. Такие функции называются возрастающими или убывающими. Функция называется возрастающей в промежутке а х в, если для любых Х1 и, принадлежащих этому промежутку, при Х1 Х2 имеет место неравенство Определение промежутков возрастания и убывания /\ /\ Х2 /\ /\ 1 2 Функция называется убывающей в промежутке а х в, если для любых Х1 и Х2, принадлежащих этому промежутку, при Х1 Х2 имеет место неравенство /\ /\ /\ 2 1 > Коломина Н.Н.

    15 слайд
    

    Описание слайда:

    [-6;7] [-5;-3] U [-3;7] [-3;2] х 0 2 6 -5 7 -3 -6 -2 3 На рисунке изображен график функции y = f(x), заданной на промежутке (-5;6). Укажите промежутки, где функция возрастает. у Коломина Н.Н.

    16 слайд
    

    Описание слайда:

    y х 1 2 4 0 Нуль функции – значение х, при котором y = 0. На рисунке – это точки пересечения графика с осью Ох. На рисунке изображен график функции y = f(x). Укажите количество нулей функции. 0 Коломина Н.Н.

    17 слайд
    

    Описание слайда:

    18 слайд
    

    Описание слайда:

    Исследование функции на монотонность. Как возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными, а промежутки, в которых функция возрастает или убывает, - промежутками монотонности. Например, функция у= Х2 при х 0 монотонно возрастает. Функция у= Х3 на всей числовой оси монотонно возрастает, а функция у= -Х3 на всей числовой оси монотонно убывает. /\ /\ Коломина Н.Н.

    19 слайд
    

    Описание слайда:

    Исследовать функцию на монотонность Функция у=х2 Функция у=х2 при х<0 монотонно убывает, при х>0 монотонно возрастает х -2 -1 0 1 2 у 4 1 0 1 4 Коломина Н.Н.

    20 слайд
    

    Описание слайда:

    Обратная функция Если функция принимает каждое свое значение только при единственном значении х, то такую функцию называют обратимой. Например, функция у=3х+5 является обратимой, т.к. каждое значение у принимается при единственном значении аргумента х. Напротив, функция у= 3Х2 не является обратимой, поскольку, например, значение у=3 она принимает и при х=1, и при х=-1. Для всякой непрерывной функции (такой, которая не имеет точек разрыва) существует монотонная однозначная и непрерывная обратная функция. Коломина Н.Н.

    21 слайд
    

    Описание слайда:

    Диктант Найти область значений Исследовать промежутки возрастания и убывания функции. № Вариант-1 № Вариант-2 Найти область определения функции 1 1 2 2 Указать способ задания функции 3 3 Исследовать функцию на четность 4 4 5 5 х -2 -1 0 1 у 3 5 7 9 Коломина Н.Н.

    22 слайд
    

    Описание слайда:

    Функции. 1. Линейная функция 2.Квадратичная функция 3.Степенная функция 4.Показательная функция 5.Догарифмическая функция 6. Тригонометрическая функция Коломина Н.Н.

    23 слайд
    

    Описание слайда:

    Линейная функция y = kx + b k – угловой коэффициент b x y α 0 b – свободный коэффициент k = tg α Коломина Н.Н.

    24 слайд
    

    Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

    
    

    Подписи к слайдам:

    «Функции и графики» Презентация к уроку ГБОУ НПО Профессиональный лицей №80 Преподаватель математики Савицкая Галина Ивановна

    «Функции и графики» 1. Что такое функция? Определение 2. Графики элементарных функций 3. Свойства функции 5. Преобразование графиков функций Упражнения: Указать свойства функции 4. Как построить график по заданным свойствам функции

    Пусть есть множества X и Y . Если каждому элементу х из множества Х по некоторому правилу сопоставлен единственный элемент y из множества Y , то говорят, что задана функция у = f(x) ОПРЕДЕЛЕНИЕ Х У Y X 1 y 1 X 2 y 2 X 3 y 3 X 4 y 4 X f (закон)

    Говорят, что у есть функция от х y=f(x) При этом: Х = – область определения функции ООФ или D(y) у – множество значений функции МЗФ или E(y) Х – независимая переменная или аргумент Y – зависимая переменная или функция

    1) Формулой х 1 2 3 4 5 у 1 8 15 20 22 Способы задания функции у = х 2 + 2х – 4 у = 3х f(x) = log 2 (3x+4) f(x) = COS 2x 2) Таблицей

    У= f (х) У Х 0 ось ординат ось абсцисс начало координат Способы задания функции 3) Графиком 1 2 3 -1 -2 -3 -1 -2 -3 1 2 3

    У= f (х) У Х 0 1 2 3 -1 -2 -3 -1 -2 -3 1 2 3 А(-2;1) В(1;-2) М(х; У) Графиком функции У= f (х) называется множество точек координатной плоскости имеющих координаты (х; f (х)) или (х; У)

    1. Линейная функция Графики элементарных функций у х У = х у = 2х у = - х y = к х + в к – угловой коэффициент 0 y = х к=1 y = 2 х к=2 y = - х к=-1 y = ½ х к = ½ 1 1 2 -1 y = ½ х

    1. Линейная функция: Графики элементарных функций у х y = к х + в к – угловой коэффициент 0 y = х +2 y = х -2 1 1 2 -1 у = х-2 у = х+2 y = х -2

    1. Линейная функция: Графики элементарных функций у х y = к х + в к – угловой коэффициент 0 y = х y = 2 х = 3 1 1 1 2 -1 -2 3 2 3 y = 2 Х = 3

    2. Квадратичная функция у=ах 2 + b х + с Графики элементарных функций 0 у х х 0 у 0 парабола Координаты вершины параболы: х 0 = - b 2а у 0 = а (х 0) 2 + b х 0 + с если а > 0 Ветви параболы направлены вверх если а 0 а

    Кубическая функция: у=ах 3 + b х 2 + сх + d Графики элементарных функций кубическая парабола у х 0 у=х 3 1 1 -1 -1 у=х 3

    4. Обратно пропорциональная функция: У= Графики элементарных функций гипербола к х у х 0 1 -1 1 -1 у х 0 1 -1 1 -1 у = 1 х у = - 1 х

    5. Модульная функция: у = | х | Графики элементарных функций у х 0 1 1 -1

    СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ Y = f (x) У х 0 а 1 а 2 а 3 а 4 а 5 а 6 а 7 а 8 а 9 в 1 в 2 в 3 в 4

    СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ у= f (х) У х 0 а 1 а 9 1 . Область определения функции – это множество значений аргумента Х при которых существует функция ООФ: Х є [ а 1 ; а 9 ]

    СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ У = f (х) У х 0 в 1 в 4 2 . Множество значений функции – это множество всех чисел, которые может принимать у МЗФ: у є [ в 4 ; в 1 ]

    СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ У = f (х) У х 0 а 2 а 4 а 6 а 8 3. Корни (или нули) функции – это такие значения х, при которых функция равна нулю (у=0) f (x) = 0 при Х = а 2 ; а 4 ; а 6 ; а 8

    СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ у= f (х) У х 0 а 1 а 2 а 4 а 6 а 8 а 9 4 . Участки знакопостоянства функции – это такие значений х при которых функция больше или меньше нуля (т.е. у > 0 или у 0 при Х є (а 1 ; а 2); (а 4 ; а 6); (а 8 ; а 9)

    СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ у= f (х) У х 0 а 2 а 4 а 6 а 8 4 . Участки знакопостоянства функции – это такие значений х при которых функция больше или меньше нуля (т.е. у > 0 или у

    СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ у= f (х) У х 0 а 3 а 5 а 7 а 9 5 . Монотонность функции – это участки возрастания и убывания функции Функция возрастает при Х є [ а 3 ; а 5 ] ; [ а 7 ; а 9 ] а 1 Функция убывает при Х є [ а 1 ; а 3 ] ; [ а 5 ; а 7 ]

    СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ у= f (х) У х 0 а 3 а 5 а 7 в 2 в 3 в 4 Экстремумы функции F max (x) F min (x) F min (x) F max (х) = в 2 в точке экстремума х = а 5 F min (х) = в 3 в точке экстремума х = а 3 F min (x) = в 4 в точке экстремума х = а 7

    СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ у= f (х) у х 0 а 7 а 9 в 1 в 4 7. Наибольшее и наименьшее значения функции (это самая высокая и самая низкая точки на графике функции) наибольшее значение F (х) = в 1 в точке х = а 9 наименьшее значение F (x) = в 4 в точке х = а 7

    у х F(x) = x 2 у х F(x) = cos x х 0 0 Х -Х СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ Четные и нечетные функции Функция называется четной, если для любого Х из ее области определения выполняется правило f(x) = f(- x) График четной функции симметричен относительно оси У f(x) Х -Х f(x)

    СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ Четные и нечетные функции Функция называется нечетной, если для любого Х из ее области определения выполняется правило f(x) = - f(x) График нечетной функции симметричен относительно начала координат у х 0 у=х 3 х f(x) - f(x) - х у х 0 у = 1 х 1 -1 1 -1

    2 2 4 6 8 10 х -2 -4 -6 -8 -10 0 4 6 у -2 -4 у= f (х) Т = 4 Периодичность функций Если рисунок графика функции повторяется, то такая функция называется периодической, а длина отрезка по оси Х называется периодом функции (T) Периодическая функция подчиняется правилу f(x) = f(x+T) СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ

    2 2 4 6 х -2 -4 -6 0 4 6 у -2 -4 -6 у= f (х) Т = 6 СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ Функция y=f(x) - периодическая с периодом Т = 6

    1 1 2 3 4 5 х -1 -2 -3 -4 -5 0 2 3 4 у -1 -2 -3 -4 Указать свойства функции 1) ООФ 2) МЗФ 3) Нули функции 4) Функция положительная Функция отрицательная 5) Функция возрастает Функция убывает 6) Экстремумы функции F max (х) F min (х) 7) Наибольшее значение функции Наименьшее значение функции у= f (х)

    1 1 2 3 4 5 х -1 -2 -3 -4 -5 0 2 3 4 у -1 -2 -3 -4 Указать свойства функции у= f (х)

    2 2 4 6 8 10 х -2 -4 -6 -8 -10 0 4 6 8 у -2 -4 -6 -8 Указать свойства функции у= f (х)

    2 2 х -2 0 у -2 Указать свойства функции у= f (х)

    3 3 х -1 0 у -1 -4 -5 Построить график функции Дано: а) Область определения – есть промежуток [-4;3] б) Значения функции составляют промежуток [- 5 ;3] в) Функция убывает на промежутках [-4; 1 ] и [ 2 ;3] возрастает на промежутке [- 1 ; 2 ] г) Нули функции: -2 и 2

    ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ Зная график элементарной функции, например f(x) = x 2 можно построить график «сложной» функции, например f(x) = 3(x +2) 2 - 16 с помощью правил преобразования графиков

    Правила преобразования графиков 1 правило: Смещение вдоль оси Х Если к аргументу Х прибавить или отнять число, то график сместится влево или вправо по оси Х f(x) f(x ± a) преобразовать в 0 у х 0 у х 4 -4 F(x) = x 2 F(x) = (x+4) 2 F(x) = (x-4) 2

    Если к функции Y прибавить или отнять число, то график сместится вверх или вниз по оси Y f(x) f(x) =Х ± a преобразовать в Правила преобразования графиков 2 правило: смещение вдоль оси У у х 4 - 4 0 у х F(x) = x 2 F(x) = x 2 + 4 F(x) = x 2 - 4

    Если аргумент Х умножить или разделить на число К, то график сожмется или растянется в К раз по оси Х f(x) f(к· x) преобразовать в Правила преобразования графиков 3 правило: сжатие (растяжение) графика вдоль оси Х у х F(x) = sin x F(x) = sin 2x

    Если к функции Y прибавить или отнять число, то график сместится вверх или вниз по оси Y f(x) f(x) ± a преобразовать в у х F(x) = sin x F(x) = sin х 2 Правила преобразования графиков 3 правило: C жатие (растяжение) графика вдоль оси Х

    Если функцию умножить или разделить на число К, то график растянется или сожмется в К раз по оси У f(x) к · f(x) преобразовать в Правила преобразования графиков 4 правило: сжатие (растяжение) графика вдоль оси У у х F(x) = cos x F(x) = cos x 1 2

    Если функцию умножить или разделить на число К, то график растянется или сожмется в К раз по оси У f(x) к · f(x) преобразовать в Правила преобразования графиков 4 правило: сжатие (растяжение) графика вдоль оси У у х F(x) = cos x F(x) = 2cos x

    Если перед функцией изменить знак на противоположный, то график симметрично перевернется относительно оси Х f(x) - f(x) преобразовать в Правила преобразования графиков 5 правило: переворот графика относительно оси Х у х F(x) = x 2 F(x) = - x 2