Внеклассный урок - числовая окружность. Урок "числовая окружность" Модель числовой окружности

Глава 2
3) числу

поставим в соответствие точку.

Единичную окружность с установленным соответствием назовем

числовой окружностью .

Это вторая геометрическая модель для множества действительных

чисел. Первую модель – числовую прямую – учащиеся уже знают. Есть

аналогия: для числовой прямой правило соответствия (от числа к точке)

почти дословно такое же. Но есть и принципиальное отличие – источник

основных трудностей в работе с числовой окружностью: на прямой каждая

точка соответствует единственному числу, на окружности это не так. Если

окружности соответствует числу, то она соответствует и всем

числам вида

Где – длина единичной окружности, а – целое

Рис. 1

число, показывающее количество полных обходов окружности в ту или иную

сторону.

Этот момент труден для учащихся. Следует предложить им для

понимания сути дела реальную задачу:

Беговая дорожка стадиона имеет длину 400 м, бегун находится в 100 м

от места старта. Какой путь он пробежал? Если он только начал бег, то

пробежал 100 м; если успел пробежать один круг, то – (

Два круга – () ; если успел пробежать

кругов, то путь составит (

) . Вот теперь можно сопоставить

полученный результат с выражением

Пример 1. Каким числам соответствует точка

числовой окружности

Решение. Так как длина всей окружности

То длина ее четверти

А потому – всем числам вида

Аналогично устанавливается, каким числам соответствуют точки

называют соответственно первой, второй, третьей,

четвертой четвертями числовой окружности.

Вся школьная тригонометрия строится на модели числовой

окружности. Опыт показывает, что недоработки с этой моделью, слишком

поспешное введение тригонометрических функций не позволяют создать

надежный фундамент для успешного усвоения материала. Следовательно, не

нужно торопиться, а отвести некоторое время на рассмотрение следующих

пяти различных типов задач с числовой окружностью.

Первый тип задач. Отыскание на числовой окружности точек,

соответствующих заданным числам, выраженным в долях числа

Пример 2.

числам

Решение. Разделим дугу

пополам точкой на три равные части –

точками

(рис.2). Тогда

Значит, числу

Соответствует точка

Числу
Пример

3.
на

числовой

окружности

точки,

соответствующие числам:

Решение. Построения будем проводить

а) Отложив дугу

(ее длина

) пять раз

от точки

в отрицательном направлении,

получим точку

б) Отложив дугу

(ее длина

) семь раз от

в положительном направлении, получим точку, отделяющую

третью часть дуги

Она и будет соответствовать числу

в) Отложив дугу

(ее длина

) пять раз от точки

в положительном

направлении, получим точку

Отделяющую третью часть дуги. Она и

будет соответствовать числу

(опыт показывает, что лучше откладывать не

пять раз по

А 10 раз по

После этого примера уместно привести два главных макета числовой

окружности: на первом из них (рис.3) все четверти разделены пополам, на

втором (рис.4) – на три равные части. Эти макеты полезно иметь в кабинете

математики.

Рис. 2

Рис. 3 Рис. 4

Обязательно следует обсудить с учащимися вопрос: что будет, если по

каждому из макетов двигаться не в положительном, а в отрицательном

направлении? На первом макете выделенным точкам придется присвоить

другие «имена»: соответственно

и т. д.; на втором макете:

Второй тип задач. Отыскание на числовой окружности точек,

соответствующих заданным числам, не выраженным в долях числа

Пример 4. Найти на числовой окружности точки, соответствующие

числам 1; 2; 3; -5.

Решение.

Здесь придется опираться на то, что

Поэтому точка 1

располагается на дуге

ближе к точке

Точки 2 и 3 – на дуге, первая –

Вторая – ближе к (рис.5).

Несколько подробнее остановимся

на отыскании точки, соответствующей числу – 5.

Двигаться надо из точки

в отрицательном направлении, т.е. по часовой

Рис. 5

стрелке. Если пройти в этом направлении до точки

Получим

Значит, точка, соответствующая числу – 5, расположена

чуть правее точки

(см. рис.5).

Третий тип задач. Составление аналитических записей (двойных

неравенств) для дуг числовой окружности.

Фактически мы действуем по тому

же плану, который использовался в 5-8

классах для изучения числовой прямой:

сначала по числу находят точку, затем по

точке – число, потом используют двойные

неравенства для записи промежутков на

числовой прямой.

Рассмотрим для примера открытую

Где – середина первой

четверти числовой окружности, а

– середина ее

второй четверти (рис.6).

Неравенства, характеризующие дугу, т.е. представляющие собой

аналитическую модель дуги, предлагается составлять в два этапа. На первом

этапе составляют ядро аналитической записи (это главное, чему следует

научить школьников); для заданной дуги

На втором

этапе составляют общую запись:

Если же речь идет о дуге

То при записи ядра нужно учесть, что

() лежит внутри дуги, а потому к началу дуги приходится двигаться

в отрицательном направлении. Значит, ядро аналитической записи дуги

имеет вид

Рис. 6

Термины «ядро аналитической

записи дуги», «аналитическая запись

дуги» не являются общепринятыми,

соображений.

Четвертый

задач.

Отыскание

декартовых

координат

точек числовой окружности, центр

которой совмещен с началом системы

координат.

Сначала рассмотрим один достаточно тонкий момент, до сих пор

практически не упоминавшейся в действующих школьных учебниках.

Приступая к изучению модели «числовая окружность на координатной

плоскости», учителя должны отчетливо осознавать, какие трудности ждут

здесь учащихся. Эти трудности связаны с тем, что при изучении указанной

модели от школьников требуется достаточно высокий уровень

математической культуры, ведь им приходится работать одновременно в

двух системах координат – в «криволинейной», когда информация о

положении точки снимается по окружности (числу

соответствует на

окружности точка

(); – «криволинейная координата» точки), и в

декартовой прямоугольной системе координат (у точки

Как у всякой точки

координатной плоскости, есть абсцисса и ордината). Задача учителя – помочь

школьникам в преодолении этих естественных трудностей. К сожалению,

обычно в школьных учебниках на это не обращают внимания и с самых

первых уроков используют записи

Не учитывая, что буква в

сознании школьника четко ассоциируется с абсциссой в декартовой

прямоугольной системе координат, а не с длиной пройденного по числовой

окружности пути. Поэтому при работе с числовой окружностью не следует

использовать символы

Рис. 7

Вернемся к четвертому типу задач. Речь идет о переходе от записи

записи

(), т.е. от криволинейных координат к декартовым.

Совместим числовую окружность с декартовой прямоугольной системой

координат так, как показано на рис. 7. Тогда точки

будут иметь

следующие координаты:

() () () (). Очень важно

научить школьников определять координаты всех тех точек, которые

отмечены на двух основных макетах (см. рис.3,4). Для точки

Все сводится к

рассмотрению равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой

Его катеты равны

Значит, координаты

). Аналогично обстоит дело с точками

Но разница лишь в том, что надо учитывать

знаки абсциссы и ординаты. Конкретно:

Что следует запомнить учащимся? Только то, что модули абсциссы и

ординаты у середин всех четвертей равны

А знаки они должны уметь

определять для каждой точки непосредственно по чертежу.

Для точки

Все сводится к рассмотрению прямоугольного

треугольника с гипотенузой 1 и углом

(рис.9). Тогда катет,

противолежащий углу

Будет равен

прилежащий

√

Значит,

координаты точки

Аналогично обстоит дело с точкой

только катеты «меняются местами», а потому

Рис. 8

Рис. 9

получаем

). Именно значения

(с точностью до знаков) и будут

«обслуживать» все точки второго макета (см. рис.4), кроме точек

качестве абсцисс и ординат. Предлогаемый способ запоминания: «где короче,

; где длиннее, там

Пример 5. Найти координаты точки

(см. рис.4).

Решение. Точка

Расположена ближе к вертикальной оси, чем к

горизонтальной, т.е. модуль ее абсциссы меньше, чем модуль ее ординаты.

Значит, модуль абсциссы равен

Модуль ординаты равен

Знаки в обоих

случаях отрицательны (третья четверть). Вывод: точка

Имеет координаты

В четвертом типе задач отыскиваются декартовы координаты всех

точек, представленных на первом и втором макетах, о которых упоминалось

Фактически в курсе данного типа задач мы готовим учащихся к

вычислению значений тригонометрических функций. Если все здесь будет

отработано достаточко надежно, то переход на новую ступень абстракции

(ордината – синус, абсцисса – косинус) окажется менее болезненным, чем

Четвертый тип включает в себя задания такого типа: для точки

найти знаки декартовых координат

Решение не должно вызывать трудности у учащихся: числу

соответствует точка

Четвертой четверти, значит, .

Пятый тип задач. Отыскание на числовой окружности точек по

заданным координатам.

Пример 6. Найти на числовой окружности точки с ординатой

записать, каким числам они соответствуют.

Решение. Прямая

Пересекает числовую окружность в точках
(рис.11). С помощью второго макета (см. рис.4) устанавливаем, что точка

соответствует числу

Значит, она

соответствует всем числам вида
соответствует числу

А значит, и

всем числам вида

Ответ:

Пример 7. Найти на числовой

окружности точки с абсциссой

записать, каким числам они соответствуют.

Решение. Прямая
√

пересекает числовую окружность в точках

– серединах второй и третьей четвертей (рис.10). С помощью первого

макета устанавливаем, что точка

соответствует числу

А значит, всем

числам вида

соответствует числу

А значит, всем

числам вида

Ответ:

Надо обязательно показать второй вариант

записи ответа к примеру 7. Ведь точка

соответствует и числу

Т.е. всем числам вида

получаем:

Рис. 10

Рис.11

Подчеркнем неоспоримую важность

пятого типа задач. Фактически мы приучаем

школьников

решению

простейших

тригонометрических уравнений: в примере 6

речь идет об уравнении

А в примере

– об уравнении

понимания сути дела важно научить

школьников решать уравнения видов

по числовой окружности,

не торопясь переходить к формулам

Опыт показывает, что если первая стадия (работа на

числовой окружности) не отработана достаточно надежно, то вторая стадия

(работа по формулам) воспринимается школьниками формально, что,

естественно, надо преодолевать.

Аналогично примерам 6 и 7 следует найти на числовой окружности

точки со всеми «главными» ординатами и абсциссами

качестве особых сюжетов уместно выделить следующие:

Замечание 1. В пропедевтическом плане полезна подготовительная

работа к теме «Длина окружности» в курсе геометрии 9-го класса. Важный

совет : в систему упражнений следует включить задания типа предложенного

ниже. Единичная окружность разделена на четыре равные части точками

дуга разделена точкой пополам, а дуга разделена точками

на три равные части (рис.12). Чему равны длины дуг

(считается, что обход окружности осуществляется в положительном

направлении)?

Рис. 12

Пятый тип задач включает в себя и работу с условиями типа

означает,
к

решению

простейших

тригонометрических неравенств мы также «подбираемся» постепенно.

пяти уроков и лишь на шестом уроке следует ввести определения синуса и

косинуса как координат точки числовой окружности. При этом

целесообразно снова порешать все типы задач со школьниками, но уже с

использованием введенных обозначений, предлагая выполнить такие,

например, задания: вычислить

Решить уравнение

неравенство

и т.д. Подчеркнем, что на первых уроках

тригонометрии простейшие тригонометрические уравнения и неравенства

являются не целью обучения, а используются в качестве средства для

усвоения главного – определений синуса и косинуса как координат точек

числовой окружности.

Пусть числу

соответствует точка

числовой окружности. Тогда ее абсцисса

называется косинусом числа

и обозначается

А ее ордината называется синусом числа

и обозначается. (рис.13).

Из этого определения сразу можно

установить знаки синуса и косинуса по

четвертям: для синуса

Для косинуса

Посвящать этому целый урок (как это

принято) вряд ли целесообразно. Не следует

заставлять школьников запоминать эти знаки: всякое механическое

запоминание, заучивание – это насильственный прием, которому учащиеся,

Координаты x лежащих на окружности точек равны cos(θ), а координаты y соответствуют sin(θ), где θ - величина угла.

Если вам сложно запомнить данное правило, просто помните, что в паре (cos; sin) "синус стоит на последнем месте".
Это правило можно вывести, если рассмотреть прямоугольные треугольники и определение данных тригонометрических функций (синус угла равен отношению длины противолежащего, а косинус - прилежащего катета к гипотенузе).

Запишите координаты четырех точек на окружности. "Единичная окружность" - это такая окружность, радиус которой равен единице. Используйте это, чтобы определить координаты x и y в четырех точках пересечения координатных осей с окружностью. Выше мы обозначили эти точки для наглядности "востоком", "севером", "западом" и "югом", хотя они не имеют устоявшихся названий.

"Восток" соответствует точке с координатами (1; 0) .
"Север" соответствует точке с координатами (0; 1) .
"Запад" соответствует точке с координатами (-1; 0) .
"Юг" соответствует точке с координатами (0; -1) .
Это аналогично обычному графику, поэтому нет необходимости запоминать эти значения, достаточно помнить основной принцип.

Запомните координаты точек в первом квадранте. Первый квадрант расположен в верхней правой части круга, где координаты x и y принимают положительные значения. Это единственные координаты, которые необходимо запомнить:

точка π / 6 имеет координаты () ;
точка π / 4 имеет координаты () ;
точка π / 3 имеет координаты () ;
обратите внимание, что числитель принимает лишь три значения. Если перемещаться в положительном направлении (слева направо по оси x и снизу вверх по оси y ), числитель принимает значения 1 → √2 → √3.

Проведите прямые линии и определите координаты точек их пересечения с окружностью. Если вы проведете от точек одного квадранта прямые горизонтальные и вертикальные линии, вторые точки пересечения этих линий с окружностью будут иметь координаты x и y с теми же абсолютными значениями, но другими знаками. Иными словами, можно провести горизонтальные и вертикальные линии от точек первого квадранта и подписать точки пересечения с окружностью теми же координатами, но при этом оставить слева место для правильного знака ("+" или "-").

Например, можно провести горизонтальную линию между точками π / 3 и 2π / 3 . Поскольку первая точка имеет координаты ( 1 2 , 3 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}},{\frac {\sqrt {3}}{2}}} ), координаты второй точки будут (? 1 2 , ? 3 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}},?{\frac {\sqrt {3}}{2}}} ), где вместо знака "+" или "-" поставлен знак вопроса.
Используйте наиболее простой способ: обратите внимание на знаменатели координат точки в радианах. Все точки со знаменателем 3 имеют одинаковые абсолютные значения координат. То же самое относится к точкам со знаменателями 4 и 6.

Для определения знака координат используйте правила симметрии. Существует несколько способов определить, где следует поставить знак "-":

вспомните основные правила для обычных графиков. Ось x отрицательна слева и положительна справа. Ось y отрицательна снизу и положительна сверху;
начните с первого квадранта и проведите линии к другим точкам. Если линия пересечет ось y , координата x изменит свой знак. Если линия пересечет ось x , изменится знак у координаты y ;
запомните, что в первом квадранте положительны все функции, во втором квадранте положителен только синус, в третьем квадранте положителен лишь тангенс, и в четвертом квадранте положителен только косинус;
какой бы метод вы ни использовали, в первом квадранте должно получиться (+,+), во втором (-,+), в третьем (-,-) и в четвертом (+,-).

Проверьте, не ошиблись ли вы. Ниже приведен полный список координат "особых" точек (кроме четырех точек на координатных осях), если двигаться по единичной окружности против часовой стрелки. Помните, что для определения всех этих значений достаточно запомнить координаты точек лишь в первом квадранте:

первый квадрант: ( 3 2 , 1 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}},{\frac {1}{2}}} ); ( 2 2 , 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}},{\frac {\sqrt {2}}{2}}} ); ( 1 2 , 3 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}},{\frac {\sqrt {3}}{2}}} );
второй квадрант: ( − 1 2 , 3 2 {\displaystyle -{\frac {1}{2}},{\frac {\sqrt {3}}{2}}} ); ( − 2 2 , 2 2 {\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{2}},{\frac {\sqrt {2}}{2}}} ); ( − 3 2 , 1 2 {\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}},{\frac {1}{2}}} );
третий квадрант: ( − 3 2 , − 1 2 {\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}},-{\frac {1}{2}}} ); ( − 2 2 , − 2 2 {\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{2}},-{\frac {\sqrt {2}}{2}}} ); ( − 1 2 , − 3 2 {\displaystyle -{\frac {1}{2}},-{\frac {\sqrt {3}}{2}}} );
четвертый квадрант: ( 1 2 , − 3 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}},-{\frac {\sqrt {3}}{2}}} ); ( 2 2 , − 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}},-{\frac {\sqrt {2}}{2}}} ); ( 3 2 , − 1 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}},-{\frac {1}{2}}} ).

Числовая окружность – это единичная окружность, точки которой соответствуют определенным действительным числам.

Единичной окружностью называют окружность радиуса 1.

Общий вид числовой окружности.

1) Ее радиус принимается за единицу измерения.

2) Горизонтальный и вертикальный диаметры делят числовую окружность на четыре четверти (см.рисунок). Их соответственно называют первой, второй, третьей и четвертой четвертью.

3) Горизонтальный диаметр обозначают AC, причем А – это крайняя правая точка.
Вертикальный диаметр обозначают BD, причем B – это крайняя верхняя точка.
Соответственно:

первая четверть – это дуга AB

вторая четверть – дуга BC

третья четверть – дуга CD

четвертая четверть – дуга DA

4) Начальная точка числовой окружности – точка А.

Отсчет по числовой окружности может вестись как по часовой стрелке, так и против часовой стрелки.
Отсчет от точки А против часовой стрелки называется положительным направлением .
Отсчет от точки А по часовой стрелке называется отрицательным направлением .

Числовая окружность на координатной плоскости.

Центр радиуса числовой окружности соответствует началу координат (числу 0).

Горизонтальный диаметр соответствует оси x , вертикальный – оси y .

Начальная точка А числовой окружности находится на оси x и имеет координаты (1; 0).

Значения x и y в четвертях числовой окружности:

Основные величины числовой окружности:

Имена и местонахождение основных точек числовой окружности:

Как запомнить имена числовой окружности.

Есть несколько простых закономерностей, которые помогут вам легко запомнить основные имена числовой окружности.

Перед тем как начать, напомним: отсчет ведется в положительном направлении, то есть от точки А (2π) против часовой стрелки.

1) Начнем с крайних точек на осях координат.

Начальная точка – это 2π (крайняя правая точка на оси х , равная 1).

Как вы знаете, 2π – это длина окружности. Значит, половина окружности – это 1π или π. Ось х делит окружность как раз пополам. Соответственно, крайняя левая точка на оси х , равная -1, называется π.

Крайняя верхняя точка на оси у , равная 1, делит верхнюю полуокружность пополам. Значит, если полуокружность – это π, то половина полуокружности – это π/2.

Одновременно π/2 – это и четверть окружности. Отсчитаем три таких четверти от первой до третьей – и мы придем в крайнюю нижнюю точку на оси у , равной -1. Но если она включает три четверти – значит имя ей 3π/2.

2) Теперь перейдем к остальным точкам. Обратите внимание: все противоположные точки имеют одинаковый числитель – причем это противоположные точки и относительно оси у , и относительно центра осей, и относительно оси х . Это нам и поможет знать их значения точек без зубрежки.

Надо запомнить лишь значение точек первой четверти: π/6, π/4 и π/3. И тогда мы «увидим» некоторые закономерности:

- Относительно оси у в точках второй четверти, противоположных точкам первой четверти, числа в числителях на 1 меньше величины знаменателей. К примеру, возьмем точку π/6. Противоположная ей точка относительно оси у тоже в знаменателе имеет 6, а в числителе 5 (на 1 меньше). То есть имя этой точки: 5π/6. Точка, противоположная π/4, тоже имеет в знаменателе 4, а в числителе 3 (на 1 меньше, чем 4) – то есть это точка 3π/4.
Точка, противоположная π/3, тоже имеет в знаменателе 3, а в числителе на 1 меньше: 2π/3.

Точка, противоположная точке π/4, тоже имеет в знаменателе 4, а в числителе число на 1 больше: 5π/4.
Точка, противоположная точке π/3, тоже имеет в знаменателе 3, а в числителе число на 1 больше: 4π/3.

- Относительно оси х (четвертая четверть) дело посложнее. Здесь надо к величине знаменателя прибавить число, которое на 1 меньше – эта сумма и будет равна числовой части числителя противоположной точки. Начнем опять с π/6. Прибавим к величине знаменателя, равной 6, число, которое на 1 меньше этого числа – то есть 5. Получаем: 6 + 5 = 11. Значит, противоположная ей относительно оси х точка будет иметь в знаменателе 6, а в числителе 11 – то есть 11π/6.

Точка π/4. Прибавляем к величине знаменателя число на 1 меньше: 4 + 3 = 7. Значит, противоположная ей относительно оси х точка имеет в знаменателе 4, а в числителе 7 – то есть 7π/4.
Точка π/3. Знаменатель равен 3. Прибавляем к 3 на единицу меньшее число – то есть 2. Получаем 5. Значит, противоположная ей точка имеет в числителе 5 – и это точка 5π/3.

3) Еще одна закономерность для точек середин четвертей. Понятно, что их знаменатель равен 4. Обратим внимание на числители. Числитель середины первой четверти – это 1π (но 1 не принято писать). Числитель середины второй четверти – это 3π. Числитель середины третьей четверти – это 5π. Числитель середины четвертой четверти – это 7π. Получается, что в числителях середин четвертей – четыре первых нечетных числа в порядке их возрастания:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
Это тоже очень просто. Поскольку середины всех четвертей имеют в знаменателе 4, то мы уже знаем их полные имена: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.

Особенности числовой окружности. Сравнение с числовой прямой.

Как вы знаете, на числовой прямой каждая точка соответствует единственному числу. К примеру, если точка А на прямой равна 3, то она уже не может равняться никакому другому числу.

На числовой окружности все иначе, поскольку это окружность. К примеру, чтобы из точки А окружности прийти к точке M, можно сделать это, как на прямой (только пройдя дугу), а можно и обогнуть целый круг, а потом уже прийти к точке M. Вывод:

Пусть точка M равна какому-то числу t. Как мы знаем, длина окружности равна 2π. Значит, точку окружности t мы можем записать двояко: t или t + 2π. Это равнозначные величины.
То есть t = t + 2π. Разница лишь в том, что в первом случае вы пришли к точке M сразу, не делая круга, а во втором случае вы совершили круг, но в итоге оказались в той же точке M. Таких кругов можно сделать и два, и три, и двести. Если обозначить количество кругов буквой k , то получим новое выражение:
t = t + 2πk .

Отсюда формула:

Уравнение числовой окружности
(второе уравнение – в разделе «Синус, косинус, тангенс, котангенс»):

x 2 + y 2 = 1

Числовая окружность - это единичная окружность, точки которой соответствуют определенным действительным числам.

Единичной окружностью называют окружность радиуса 1.

Общий вид числовой окружности.

1) Ее радиус принимается за единицу измерения.

2) Горизонтальный и вертикальный диаметры делят числовую окружность на четыре четверти. Их соответственно называют первой, второй, третьей и четвертой четвертью.

3) Горизонтальный диаметр обозначают AC, причем А - это крайняя правая точка.
Вертикальный диаметр обозначают BD, причем B - это крайняя верхняя точка.
Соответственно:

первая четверть - это дуга AB

вторая четверть - дуга BC

третья четверть - дуга CD

четвертая четверть - дуга DA

4) Начальная точка числовой окружности - точка А.

Отсчет по числовой окружности может вестись как по часовой стрелке, так и против часовой стрелки.

Отсчет от точки А против часовой стрелки называется положительным направлением .

Отсчет от точки А по часовой стрелке называется отрицательным направлением .

Числовая окружность на координатной плоскости.

Центр радиуса числовой окружности соответствует началу координат (числу 0).

Горизонтальный диаметр соответствует оси x , вертикальный - оси y .

Начальная точка А числовой окружнос ти находится на оси x и имеет координаты (1; 0).

Имена и местонахождение основных точек числовой окружности:

Как запомнить имена числовой окружности.

1) Начнем с крайних точек на осях координат.

Начальная точка - это 2π (крайняя правая точка на оси х , равная 1).

Как вы знаете, 2π - это длина окружности. Значит, половина окружности - это 1π или π. Ось х делит окружность как раз пополам. Соответственно, крайняя левая точка на оси х , равная -1, называется π.

Крайняя верхняя точка на оси у , равная 1, делит верхнюю полуокружность пополам. Значит, если полуокружность - это π, то половина полуокружности - это π/2.

Одновременно π/2 - это и четверть окружности. Отсчитаем три таких четверти от первой до третьей - и мы придем в крайнюю нижнюю точку на оси у , равной -1. Но если она включает три четверти - значит имя ей 3π/2.

2) Теперь перейдем к остальным точкам. Обратите внимание: все противоположные точки имеют одинаковый знаменатель - причем это противоположные точки и относительно оси у , и относительно центра осей, и относительно оси х . Это нам и поможет знать их значения точек без зубрежки.

Надо запомнить лишь значение точек первой четверти: π/6, π/4 и π/3. И тогда мы «увидим» некоторые закономерности:

- Относительно оси у в точках второй четверти, противоположных точкам первой четверти, числа в числителях на 1 меньше величины знаменателей. К примеру, возьмем точку π/6. Противоположная ей точка относительно оси у тоже в знаменателе имеет 6, а в числителе 5 (на 1 меньше). То есть имя этой точки: 5π/6. Точка, противоположная π/4 тоже имеет в знаменателе 4, а в числителе 3 (на 1 меньше, чем 4) - то есть это точка 3π/4.
Точка, противоположная π/3, тоже имеет в знаменателе 3, а в числителе на 1 меньше: 2π/3.

- Относительно центра осей координат все наоборот: числа в числителях противоположных точек (в третьей четверти) на 1 больше значения знаменателей. Возьмем опять точку π/6. Противоположная ей относительно центра точка тоже имеет в знаменателе 6, а в числителе число на 1 больше - то есть это 7π/6.
Точка, противоположная точке π/4, тоже имеет в знаменателе 4, а в числителе число на 1 больше: 5π/4.
Точка, противоположная точке π/3, тоже имеет в знаменателе 3, а в числителе число на 1 больше: 4π/3.

- Относительно оси х (четвертая четверть) дело посложнее. Здесь надо к величине знаменателя прибавить число, которое на 1 меньше - эта сумма и будет равна числовой части числителя противоположной точки. Начнем опять с π/6. Прибавим к величине знаменателя, равной 6, число, которое на 1 меньше этого числа - то есть 5. Получаем: 6 + 5 = 11. Значит, противоположная ей относительно оси х точка будет иметь в знаменателе 6, а в числителе 11 - то есть 11π/6.

Точка π/4. Прибавляем к величине знаменателя число на 1 меньше: 4 + 3 = 7. Значит, противоположная ей относительно оси х точка имеет в знаменателе 4, а в числителе 7 - то есть 7π/4.
Точка π/3. Знаменатель равен 3. Прибавляем к 3 на единицу меньшее число - то есть 2. Получаем 5. Значит, противоположная ей точка имеет в числителе 5 - и это точка 5π/3.

3) Еще одна закономерность для точек середин четвертей. Понятно, что их знаменатель равен 4. Обратим внимание на числители. Числитель середины первой четверти - это 1π (но 1 не принято писать). Числитель середины второй четверти - это 3π. Числитель середины третьей четверти - это 5π. Числитель середины четвертой четверти - это 7π. Получается, что в числителях середин четвертей - четыре первых нечетных числа в порядке их возрастания:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
Это тоже очень просто. Поскольку середины всех четвертей имеют в знаменателе 4, то мы уже знаем их полные имена: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.

Особенности числовой окружности. Сравнение с числовой прямой.

Пусть точка M равна какому-то числу t. Как мы знаем, длина окружности равна 2π. Значит, точку окружности t мы можем записать двояко: t или t + 2π. Это равнозначные величины.
То есть t = t + 2π. Разница лишь в том, что в первом случае вы пришли к точке M сразу, не делая круга, а во втором случае вы совершили круг, но в итоге оказались в той же точке M. Таких кругов можно сделать и два, и три, и двести. Если обозначить количество кругов буквой n , то получим новое выражение:
t = t + 2πn .

Отсюда формула:

Представляем вашему вниманию видеоурок по теме «Числовая окружность». Дается определение, что такое синус, косинус, тангенс, котангенс и функции y = sin x , y = cos x , y = tg x , y = ctg x для любого числового аргумента. Рассматривается стандартные задачи на соответствие между числами и точками в единичной числовой окружности для нахождения каждому числу единственной точки, и, наоборот, на нахождение для каждой точки множество чисел которые ей соответствуют.

Тема: Элементы теории тригонометрических функций

Урок: Числовая окружность

Наша ближайшая цель - определить тригонометрические функции: синус , косинус , тангенс , котангенс-

Числовой аргумент можно откладывать на координатной прямой или на окружности.

Такая окружность называется числовой или единичной, т.к. для удобства берут окружность с

Например, дана точка Отметим ее на координатной прямой

и на числовой окружности .

При работе с числовой окружностью условились, что движение против часовой стрелки - положительное направление, по часовой стрелке - отрицательное.

Типовые задачи - нужно определить координаты заданной точки либо, наоборот, найти точку по ее координатам.

Координатная прямая устанавливает взаимно-однозначное соответствие между точками и числами. Например, числу соответствует точка А с координатой

Каждая точка В с координатой характеризуется только одним числом - расстоянием от 0 до взятым со знаком плюс или минус.

На числовой окружности взаимно-однозначное соответствие работает только в одну сторону.

Например, есть точка В на координатной окружности (рис.2), длина дуги равна 1, т.е. эта точка соответствует 1.

Дана окружность, длина окружности Если то - длина единичной окружности.

Если мы прибавим , получим ту же точку В, еще - тоже попадем в т. В, отнимем - тоже т. В.

Рассмотрим точку B: длина дуги =1, тогда числа характеризуют т. В на числовой окружности.

Таким образом, числу 1 соответствует единственная точка числовой окружности - точка В, а точке В соответствует бесчисленное множество точек вида .

Для числовой окружности верно следующее:

Если т. М числовой окружности соответствует числу то она соответствует и числу вида

Можно делать сколько угодно полных оборотов вокруг числовой окружности в положительном или отрицательном направлении - точка одна и та же. Поэтому тригонометрические уравнения имеют бесчисленное множество решений.

Например, дана точка D. Каковы числа, которым она соответствует?

Измеряем дугу .

множество всех чисел, соответствующих точке D.

Рассмотрим основные точки на числовой окружности.

Длина всей окружности.

Т.е. запись множества координат может быть различной.

Рассмотрим типовые задачи на числовую окружность.

1. Дано: . Найти: точку на числовой окружности.

Выделяем целую часть:

Необходимо найти т. на числовой окружности. , тогда.

В это множество входит и точка .

2. Дано: . Найти: точку на числовой окружности.

Необходимо найти т.

т.также принадлежит этому множеству.

Решая стандартные задачи на соответствие между числами и точками на числовой окружности, мы выяснили, что можно для каждого числа найти единственную точку, и можно для каждой точки найти множество чисел, которые характеризуются данной точкой.

Разделим дугу на три равные части и отметим точки M и N.

Найдем все координаты этих точек.

Итак, наша цель - определение тригонометрических функций. Для этого нам необходимо научиться задавать аргумент функции. Мы рассмотрели точки единичной окружности и решили две типовые задачи - найти точку на числовой окружности и записать все координаты точки единичной окружности.

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. - М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс: учеб.для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

№№ 531; 536; 537; 541; 552.