Квадрат — определение и свойства. Площадь многоугольника и его свойства

Исторические сведения

В Киевской Руси мер площади, как квадратных мер, судя по сохранившимся источникам, не было. Хотя, древнерусские зодчие и землемеры имели о них представление.

Меры площади нужны были для определения размеров земельных участков. Участки же не всегда были четко разграничены, соприкасались друг с другом, имели межевые знаки.

В древней Руси в целях податного обложения использовали чисто условные единицы, характеризовавшие рабочую силу или сельскохозяйственный инвентарь, а также меры, в основе которых лежали трудовые возможности. Отсюда такие наименования земледельных мер (единиц обложения), как «дом» (семья) или «дым», «рало», «соха», «обжа» и пр. Трудовой характер мер «соха» и «обжа» и их соотношение явствуют из сохранившегося ответа новгородцев на запрос Ивана III в 1478 г.: «Три обжи – соха, а обжа – 1 человек на 1 лошади орет (пашет); а кто на 3 лошадях и сам третий орет, ино то соха».

Несмотря на неопределенность в геометрическом смысле, «посевные» меры оказались более удобными для земледельцев, кроме того, объективнее и точнее определялся размер податного обложения.

Для сенокосных угодий широко применяли «урожайные» меры – копны сена. Копны иногда использовали и в качестве мер посевных площадей.

Все «трудовые», «урожайные» и «посевные» меры заключали в себе элементы субъективизма и произвола, которые проявлялись непосредственно в практике использования этих мер.

Во время феодальной раздробленности Руси как меры площади применялись «дом» (дым), «соха», «обжа». Но они отличались по количеству в зависимости от княжества. Отличия были и в наименованиях мер. В Новгороде, например, в качестве посевной меры применялась «коробья» (площадь, на которую высевали коробью ржи – меру объема).

Площади сенокосных участков оценивали копной (площадь луга, на которой можно накосить копну сена). Эти меры позволяли определить урожайность, а о форме и размерах земельных участков полного представления не давали.

В середине XIII века татары проводили в значительных масштабах описи земельных площадей. В основу описей в качестве единицы измерения было положено отдельное хозяйство («дом» или «дым»).

В памятниках древней письменности с конца XIV века упоминается геометрическая мера земельных площадей – десятина. Первоначально применяли «круглую» десятину – квадрат со стороной, равной десятой доле версты (50 сажен), откуда и происходит название «десятина». С середины XV века десятину стали употреблять для пахотных земель, а не только для сенокосных угодий. С этого момента можно говорить об использовании в землемерной практике действительно мер в метрологическом смысле слова.

Переход от четверти к десятине оказался затруднительным, т. к. в основе четверти лежало реальное засеваемое зерно, это было понятно всем, кроме того, в писцовых книгах было зафиксировано определение земельных площадей в четвертях.

площади мера доказательство формула

Площадь многоугольника и его свойства

Площадь многоугольника – это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник. Измерение площадей проводится с помощью выбранной единицы измерения аналогично измерению длин отрезков. За единицу измерения площадей принимают квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков. Квадратным сантиметром обозначается см 2 . Аналогично определяется квадратный метр (м 2), квадратный миллиметр (мм 2) и т.д.

При выбранной единице измерения площадей площадь каждого многоугольника выражается положительным числом. Это число показывает, сколько раз единица измерения и ее части укладываются в данном многоугольнике.

Обычно измеряют лишь некоторые связанные с многоугольником отрезки, а затем вычисляют площадь по определенным формулам.

Вывод этих формул основан на свойствах площадей, которые мы сейчас и рассмотрим.

Прежде всего отметим, что если два многоугольника равны, то единица измерения площадей и ее части укладываются в таких многоугольниках одинаковое число раз, т.е. имеет место следующее свойство:

1. Равные многоугольники имеют равные площади

Далее, пусть многоугольник составлен из нескольких многоугольников так, что внутренние области любых двух из этих многоугольников не имеют общих точек. Очевидно, величина части плоскости, занимаемой всем многоугольником, является суммой величин тех частей плоскости, которые занимают составляющие его многоугольники. Итак:

2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников

Свойства 1 0 и 2 0 называют основными свойствами площадей. Аналогичными свойствами обладают и длины отрезков.

Наряду с этими свойствами нам понадобится еще одно свойство площадей.

3. Площадь квадрата равна квадрату его стороны

Краткую формулировку этого свойства следует понимать так: если сторона квадрата при выбранной единице измерения отрезков выражается числом а, то площадь этого квадрата выражается числом а 2 .

Площадь квадрата

Докажем, что площадь S квадрата со стороной а равна а 2 .

Начнем с того, что а =

, где n – целое число. Возьмем квадрат со стороной 1 и разобьем его на n 2 равных квадратов так, как показано на рисунке а) (на рисунке n=5).

Так как площадь большого квадрата равна 1, то площадь каждого маленького квадрата равна . Сторона каждого маленького квадрата равна , т.е. равна а . Итак, = (формула 1)

Пусть теперь число а представляет собой конечную десятичную дробь, содержащую n знаков после запятой (В частности, число а может быть целым, и тогда n=0). Тогда число m=

целое. Разобьем данный квадрат со стороной а на m 2 равных квадратов так, как показано на рисунке б) (на рисунке m=7)

При этом каждая сторона данного квадрата разобьется на m равных частей и, значит, сторона любого маленького квадрата равна

По формуле 1 площадь маленького квадрата равна

. Следовательно, площадь S данного квадрата равна

Наконец, пусть число а представляет собой бесконечную десятичную дробь. Рассмотрим число а, получаемое из а отбрасыванием всех десятичных знаков после запятой, начиная с (n+1) – го. Так как число а отличается от а n не более чем на

, то

, откуда

Ясно, что площадь S данного квадрата заключена между площадью квадрата со стороной

Квадрат - это правильный четырёхугольник, у которого все стороны и углы равны между собой.
Площадь квадрата равна квадрату его стороны:
S = a 2

Доказательство

Начнем с того случая, когда a = 1/n, где n является целым числом .
Возьмем квадрат со стороной 1 и разобьем его на n 2 равных квадратов так, как показано на рисунке 1.

Так как площадь большого квадрата равна единице, то площадь каждого маленького квадрата равна 1/n 2 . Сторона каждого маленького квадрата равна 1/n, т. е. равна a. Итак,
S = 1/n 2 = (1/n) 2 = a 2 . (1)
Пусть теперь число a представляет собой конечную десятичную дробь, содержащую n знаков после запятой (в частности, число a может бать целым, и тогда n = 0) . Тогда число m = a · 10 n целое. Разобьем данный квадрат со стороной a на m 2 равных квадратов так, как показано на рисунке 2.

При этом каждая сторона данного квадрата разобьется на m равных частей, и, значит, сторона любого маленького квадрата равна

a/m = a / (a · 10 n) = 1/10 n .

По формуле (1) площадь маленького квадрата равна (1/10 n) 2 . Следовательно, площадь S данного квадрата равна

m 2 · (1/10 n) 2 = (m/10 n) 2 = ((a · 10 n)/10 n) 2 = a 2 .

Наконец, пусть число a представляет собой бесконечную десятичную дробь . Рассмотрим число a n , получаемое из a отбрасыванием всех десятичных знаков после запятой, начиная с (n + 1) -го. Так как число a отличается от a n не более чем на 1/10 n , то a n ≤ a ≤ a n + 1/10 n , откуда

a n 2 ≤ a 2 ≤ (a n + 1/10 n) 2 . (2)

Ясно, что площадь S данного квадрата заключена между площадью квадрата со стороной a n и площадью квадрата со стороной a n + 1/10 n:

т. е. между a n 2 и (a n + 1/10 n) 2 :

a n 2 ≤ S ≤ (a n + 1/10 n) 2 . (3)

Будем неограниченно увеличивать число n . Тогда число 1/10 n будет становиться сколь угодно малым, и, значит, число (a n + 1/10 n) 2 будет сколь угодно мало отличаться от числа a n 2 . Поэтому из неравенств (2) и (3) следует, что число S сколь угодно мало отличается от числа a 2 . Следовательно, эти числа равны: S = a 2 , что и требовалось доказать.

Так же площадь квадрата можно найти с помощью следующих формул:

S = 4r 2 ,
S = 2R 2 ,

Самыми древними понятиями в развитии мировой геометрии являются понятия площадей многих прямолинейных фигур, в том числе: прямоугольника, параллелограмма, треугольника, и трапеции. Еще в 7 веке до нашей эры площадь прямоугольника умели вычислять египтяне. Они умножали длину на ширину.

Вавилонская арифметика и алгебра тоже были достаточно развиты, об этом свидетельствуют найденные при раскопках клинописные таблички. Вавилонская геометрия имела представление о пропорциональности отрезков, которые пересекались параллельными прямыми, а также о теореме Пифагора и даже вычислении объемов и площадей некоторых фигур. При этом вавилоняне под пространственными фигурами принимали конкретные предметы из быта. Например, при строительстве круглых зданий, они длину окружности приблизительно вычисляли по ее трем диаметрам. Площадь прямоугольника они высчитывали количеством пройденных шагов. Видимо для того времени такие определения значений были вполне приемлемыми. Такая прикладная геометрия была характерна для многих народов мира и широко использовалась в решении разных спорных бытовых вопросов.

Выдающийся ученый своего времени Архимед, доказывая теоремы о площадях фигур, использовал метод исчерпывания. На самом деле, это не что иное, как косвенное доказательство, которое начинают от противного. Основная идея метода Архимеда состоит в том, что вовнутрь фигуры, площадь которой ищут, нужно вписать правильные фигуры. Используя варианты метода исчерпывания, выдающийся ученый смог доказать многие теоремы.

Теорема: площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

S = ab

Итак, мы имеем прямоугольник, у которого две стороны - a и b . Площадь прямоугольника - S . Докажем, что S = ab .

Превратим наш прямоугольник в квадрат. Для этого увеличим его сторону b до длины стороны a

В итоге у нас получилось четыре квадрата. Мы знаем, что площадь квадрата равна (a + b) 2 . В то же время эти квадраты составлены из двух прямоугольников: одного прямоугольника с площадью S и такого же прямоугольника с такой же площадью, а также двух квадратов, у которых площади a 2 и b 2 . Исходя из того, что наш четырехугольник состоит не из одного четырехугольника, а из нескольких, то его площадь будет равна сумме всех площадей данных четырехугольников. Это выходит из свойства площадей.

Теорема 1.

Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Докажем что площадь S квадрата со стороной a равна a 2 . Возьмем квадрат со стороной 1 и разобьем его на n равных квадратов так, как показано на рисунке 1. геометрия площадь фигура теорема

Рисунок 1.

Так как сторона квадрата равна 1, то площадь каждого маленького квадрата равна. Сторона каждого маленького квадрата равна, т.е. равна а. Из этого следует, что. Теорема доказана.

Теорема 2.

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне (рис.2.):

S = a * h.

Пусть ABCD - данный параллелограмм. Если он не является прямоугольником, то один из его углов A или B острый. Пусть для определенности угол A острый (рис.2.).

Рисунок 2.

Опустим перпендикуляр AE из вершины A на прямую CB. Площадь трапеции AECD равна сумме площадей параллелограмма ABCD и треугольника AEB. Опустим перпендикуляр DF из вершины D на прямую CD. Тогда площадь трапеции AECD равна сумме площадей прямоугольника AEFD и треугольника DFC. Прямоугольные треугольники AEB и DFC равны, а значит, имеют равные площади. Отсюда следует, что площадь параллелограмма ABCD равна площади прямоугольника AEFD, т.е. равна AE * AD. Отрезок AE - высота параллелограмма, опущенная к стороне AD , и, следовательно, S = a * h. Теорема доказана.

Теорема 3

Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на проведенную к ней высоту (рис.3.):

Рисунок 3.

Доказательство.

Пусть ABC - данный треугольник. Дополним его до параллелограмма ABCD, как показано на рисунке (рис.3.1.).

Рисунок 3.1.

Площадь параллелограмма равна сумме площадей треугольников ABC и CDA. Так как эти треугольники равны, то площадь параллелограмма равна удвоенной площади треугольника ABC. Высота параллелограмма, соответствующая стороне CB, равна высоте треугольника, проведенной к стороне CB. Отсюда следует утверждение теоремы, Теорема доказана.

Теорема 3.1.

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними (рис 3.2.).

Рисунок 3.2.

Доказательство.

Введем систему координат с началом в точке С так, чтобы B лежала на положительной полуоси C x , а точка А имела положительную ординату. Площадь данного треугольника можно вычислить по формуле, где h - высота треугольника. Но h равна ординате точки А, т.е. h=b sin C. Следовательно, . Теорема доказана.

Теорема 4.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы его оснований на высоту (рис.4.).

Рисунок 4.

Доказательство.

Пусть ABCD - данная трапеция (рис.4.1.).

Рисунок 4.1.

Диагональ AC трапеции разбивает ее на два треугольника: ABC и CDA.

Следовательно, площадь трапеции равна сумме площадей этих треугольников.

Площадь треугольника ACD равна площадь треугольника ABC равна. Высоты AF и CE этих треугольников равна расстоянию h между параллельными прямыми BC и AD, т.е. высоте трапеции. Следовательно, . Теорема доказана.

Площади фигур имеют огромное значение в геометрии, как в науке. Ведь площадь это одна из важнейших величин в геометрии. Без знания площадей невозможно решить множество геометрических задач, доказать теоремы, обосновать аксиомы. Площади фигур имели огромное значение много веков назад, но не утратили своего значения в современном мире. Понятия площадей используются во многих профессиях. Они применяются в строительстве, проектирование и во многих других видах деятельности человека. Из этого можно сделать вывод,что без развития геометрии, в частности понятий о площадях, человечество не смогло бы такой большой прорыв в области наук и технике.

Площадь геометрической фигуры - численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.

Формулы площади треугольника

Формула площади треугольника по стороне и высоте
Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты
Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

Формулы площади квадрата

Формула площади квадрата по длине стороны
Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.
Формула площади квадрата по длине диагонали
Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.
S = 1 2
2

Формула площади прямоугольника

Площадь прямоугольника

Формулы площади параллелограмма

Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте
Площадь параллелограмма
Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними
Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.
a · b · sin α

Формулы площади ромба

Формула площади ромба по длине стороны и высоте
Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.
Формула площади ромба по длине стороны и углу
Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.
Формула площади ромба по длинам его диагоналей
Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей.