Предел функции непрерывного аргумента. Предел и непрерывность функции одной переменной - документ Понятие предела функции в бесконечно удаленной точке

Предел и непрерывность

функции одной переменной

3.1.1. Определение. Число А x стремящимся к x 0 , если для любого числа
найдётся число
(
), и будет выполняться условие:

если
, то
.

(Символика:
).

Если точки графика Г функции

, когда неограниченно близко приближается к точке (т.е.
), (см. Рис. 3.1), то это обстоятельство является геометрическим эквивалентом того, что функция
при
имеет предельное значение (предел) A (символика:
).

График функции ,

Рис. 3.1

Следует отметить, что в определении предельного значения (предела) функции при x стремящемся к x 0 ничего не говорится о поведении функции в точке x 0 . В самой точке x 0 функция может быть не определена, может быть
, а может быть
.

Если
, то функция называется бесконечно малой при
.

Промежуток называют  - окрестностью точки x 0 с выколотым центром. Используя это название, можно сказать так: , если для любого числа найдётся число , и будет выполняться условие: если
, то
.

3.1.2. Определение. , если для любой сходящейся к x 0 последовательности
последовательность
сходится к А .

3.1.3. Докажем эквивалентность определений разделов 3.1.1 и 3.1.2

Пусть сначала в смысле первого определения и пусть
(
), тогда все , кроме их конечного числа удовлетворяют неравенству
, где  выбрано по  в смысле первого определения, т.е.
, т.е. из первого определения следует второе. Пусть теперь
в смысле второго определения и допустим, что в смысле второго определения
, т.е. для некоторого при сколь угодно малых (например, при
) нашлась последовательность
, но при этом
. Пришли к противоречию, следовательно, из второго определения следует первое.

3.1.4. Эквивалентность этих определений особенно удобна, ибо все доказанные ранее теоремы о свойствах пределов для последовательностей переносятся почти автоматически на новый случай. Следует лишь уточнить понятие ограниченности. Соответствующая теорема имеет следующую формулировку:

Если
, то ограничена на некоторой  - окрестности точки x 0 с выколотым центром.

3.2.1.Теорема. Пусть
,
,

тогда,
,

3.2.2. Пусть

- произвольная, сходящаяся к x 0 последовательность значений аргументов функций и
. Соответствующие последовательности
и
значений этих функций имеют пределы A и B . Но тогда, в силу теоремы раздела 2.13.2, последовательности
,
и
имеют пределы, соответственно равные A +B ,
и
. Согласно определению предела функции в точке (см. раздел 2.5.2) это означает, что

,
,

3.2.3. Теорема. Если
,
, и в некоторой окрестности

имеет место

3.2.4. По определению предела функции в точке x 0 для любой последовательности
такой, что

последовательность значений функции имеет предел равный А . Это означает, что для любого
существует номер
выполняется . Аналогично, для последовательности
существует номер
такой, что для любого номера
выполняется . Выбирая
, получаем, что для всех
выполняется . Из этой цепочки неравенств имеем для любого , что означает, что
.

3.2.5. Определение. Число А называется предельным значением (пределом) функции при x стремящимся к x 0 справа (символика:
), если для любого числа найдётся число () и будет выполняться условие: если
, то
.

Множество называют правой  - окрестностью точки x 0 . Аналогично определяется понятие предельного значения (предела) слева (
).

3.2.6. Теорема. Функция при имеет предельное значение (предел) равный А тогда и только тогда, когда

3.3.1. Определение. Число А называется предельным значением (пределом) функции при x стремящимся к бесконечности, если для любого числа найдётся число
(
) и будет выполняться условие:

если
, то .

(Символика:
.)

Множество
называется D -окрестностью бесконечности.

3.3.2. Определение. Число А называется предельным значением (пределом) функции при x стремящимся к плюс бесконечности, если для любого числа найдётся число D () и будет выполняться условие:

если
, то .

(Символика:
).

Если точки графика Г функции
с неограниченным ростом
неограниченно приближаются к единственной горизонтальной прямой
(см. Рис. 3.2), то это обстоятельство является геометрическим эквивалентом того, что функция
при
имеет предельное значение (предел), равное числу A (символика:
).

График функции
,

Множество
называется D -окрестностью плюс бесконечности.

Аналогично определяется понятие предела при
.

Упражнения.

Сформулируйте все теоремы о пределах применительно к случаям:

1)
, 2)
, 3)
, 4)
, 5)
.

3.4.1. Определение. Функция называется бесконечно большой функцией (или просто бесконечно большой) при , если для любого числа

, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство
.

(Символика:
.)

Если выполняется
, то пишут
.

3.4.2. Теорема. Пусть
и
при
.

Тогда
- бесконечно большая функция при .

3.4.3. Пусть произвольное число . Так как - бесконечно малая функция при , то для числа
существует число такое, что для всех x таких, что выполняется неравенство
, но тогда для тех же x выполнятся неравенство
. Т.е. - бесконечно большая функция при .

3.4.4.Теорема. Пусть - бесконечно большая функция при и при .

Тогда - бесконечно малая функция при .

(Эта теорема доказывается аналогично теореме раздела 3.8.2).

3.4.5. Функция
называется неограниченной при
, если для любого числа
и любой δ-окрестности точки можно указать точку x из этой окрестности такую, что
.

3.5.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция называется непрерывной в точке , если
.

Последнее условие можно записать и так:

Эта запись означает, что для непрерывных функций можно менять местами знак предела и знак функции

Или так: . Или снова, как в начале.

Обозначим
. Тогда
и =
и последняя форма записи примет вид

Выражение под знаком предела представляет собой приращение функции точке , вызванное приращением
аргумента x в точке , обозначаемое обычно как
. В итоге получаем следующую форму записи условия непрерывности функции в точке

которую называют «рабочим определением» непрерывности функции в точке.

Функция называется непрерывной в точке слева , если
.

Функция называется непрерывной в точке справа , если
.

3.5.2. Пример.
. Эта функция непрерывна для любого . С помощью теорем о свойствах пределов, мы сразу получаем: любая рациональная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена, т.е. функция вида
.

УПРАЖНЕНИЯ .

3.6.1. В школьном учебнике доказывается (на высоком уровне строгости), что
(первый замечательный предел). Из наглядных геометрических соображений сразу получается, что
. Заметим, что из левого неравенства следует также, что
, т.е. что функция
непрерывна в нуле. Отсюда уж совсем нетрудно доказать непрерывность всех тригонометрических функций во всех точках, где они определены. В самом деле, при
как произведение бесконечно малой функции
на ограниченную функцию
.

3.6.2. (2-й замечательный предел). Как нам уже известно

где пробегает натуральные числа. Можно показать, что
. Более того
.

УПРАЖНЕНИЯ .

3.7.1. ТЕОРЕМА (о непрерывности сложной функции).

Если функция
непрерывна в точке и
, а функция
непрерывна в точке , то сложная функция
непрерывна в точке .

3.7.2. Справедливость этого утверждения немедленно следует из определения непрерывности, записанного в виде:

3.8.1. ТЕОРЕМА. Функция непрерывна в каждой точке (
).

3.8.2. Если считать обоснованным, что функция
определена для любого и является строго монотонной (строго убывающей при
, строго возрастающей при
), то доказательство не составляет труда.

При
имеем:

т.е. при имеем
, что означает, что функция непрерывна при .

При
всё сводится к предыдущему:

При
.

При
функция
постоянна при всех , следовательно, непрерывна.

3.9.1. ТЕОРЕМА (о сосуществовании и непрерывности обратной функции).

Пусть непрерывная функция строго убывает (строго возрастает) в некоторой δ - окрестности точки ,
. Тогда в некоторой ε - окрестности точки существует обратная функция
, которая строго убывает (строго возрастает) и непрерывна в ε - окрестности точки .

3.9.2. Докажем здесь только непрерывность обратной функции в точке .

Возьмём , точка y расположена между точками
и
, следовательно, если
, то
, где .

3.10.1. Итак, любые позволительные арифметические действия над непрерывными функциями вновь приводят к непрерывным функциям. Образование из них сложных и обратных функций не портит непрерывности. Поэтому, с некоторой долей ответственности, мы можем утверждать, что все элементарные функции при всех допустимых значениях аргумента непрерывны.

УПРАЖНЕНИЕ .

Докажите, что
при
(другая форма второго замечательного предела).

3.11.1. Вычисление пределов сильно упрощается, если использовать понятие эквивалентных бесконечно малых. Понятие эквивалентности удобно обобщить на случай произвольных функций.

Определение. Функции и называются эквивалентными при , если
(вместо можно писать
,
,
,
,
).

Используемое обозначение f ~ g .

Эквивалентность обладает следующими свойствами

Необходимо помнить следующий список эквивалентных бесконечно малых:

~
при
; (1)

~ при ; (2)

~
при ; (3)

~ при ; (4)

~ при ; (5)

~ при ; (6)

~ при ; (7)

~ p при ; (8)

~ при
; (9)

~
при . (10)

Здесь и могут быть не независимыми переменными, а функциями
и
стремящимися соответственно к нулю и единице при некотором поведении x . Так, например,

~
при
,

~
при
.

Эквивалентность (1) является иной формой записи первого замечательного предела. Эквивалентности (2), (3), (6) и (7) можно доказать непосредственно. Эквивалентность (4) получается из (1) с учётом свойства 2) эквивалентностей:

~
.

Аналогично (5) и (7) получаются из (2) и (6). В самом деле

~
,

~
.

Эквивалентность (8) доказывается последовательным применением (7) и (6):

а (9) и (10) получаются из (6) и (8) заменой
.

3.11.2. Теорема. При вычислении пределов в произведении и отношении можно менять функции на эквивалентные. А именно, если ~
, то, либо оба предела не существуют одновременно, и
, либо оба эти предела не существуют одновременно.

Докажем первое равенство. Пусть один из пределов, скажем,
существует. Тогда

3.11.3. Пусть (- число или символ ,
или
). Будем рассматривать поведение различных б.м. функций (так будем сокращать термин бесконечно малая).

ОПРЕДЕЛЕНИЯ.
и называются эквивалентными б.м. функциями при , если
(при ).

будем называть б.м. более высокого порядка чем б.м. функция
, если
(при ).

3.11.4. Если и эквивалентные б.м. функции, то
есть б.м. функция более высокого порядка чем
и чем . - б.м. функции при, в которой для всех x и, если в этой точке функция называется точкой устранимого разрыва. имеет разрыв второго рода. Сама точкаКонтрольная работа

К коллоквиуму. Разделы: «Предел и непрерывность функции действительной переменной» функции одной переменной» , «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных»

Тематика и примеры контрольных заданий и вопросов (контрольные работы индивидуальные типовые расчеты коллоквиум) i семестр контрольная работа №1 раздел «предел и непрерывность функции действительной переменной»

Контрольная работа

К коллоквиуму. Разделы: «Предел и непрерывность функции действительной переменной» , «Дифференциальное исчисление функции одной переменной» , «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных» . Числовая последовательность...

Контрольная работа

Тематика и примеры контрольных заданий и вопросов (контрольная работа индивидуальные типовые расчеты коллоквиумы) i семестр контрольная работа раздел «предел и непрерывность функции действительной переменной»

Контрольная работа

Лекция 19 предел и непрерывность функции нескольких переменных

Лекция

... Предел и непрерывность функции нескольких переменных . 19.1. Понятие функции нескольких переменных . При рассмотрении функций нескольких переменных ... свойствам функций одной переменной , непрерывных на отрезке. См. Свойства функций , непрерывных на...

Понятие предела числовой последовательности

Вспомним сначала определение числовой последовательности.

Определение 1

Отображения множества натуральных чисел на множество действительных чисел называется числовой последовательностью .

Понятие предела числовой последовательности имеет несколько основных определений:

Действительное число $a$ называется пределом числовой последовательности $(x_n)$, если для любого $\varepsilon >0$ существует номер $N$, зависящий от $\varepsilon$, такой, что для любого номера $n> N$ выполняется неравенство $\left|x_n-a\right|
Действительное число $a$ называется пределом числовой последовательности $(x_n)$, если в любую окрестность точки $a$ попадают все члены последовательности $(x_n)$, за исключением, быть может, конечного числа членов.

Рассмотрим пример вычисления значения предела числовой последовательности:

Пример 1

Найти предел ${\mathop{lim}_{n\to \infty } \frac{n^2-3n+2}{2n^2-n-1}\ }$

Решение:

Для решения данного задания вначале нам необходимо вынести за скобки старшую степень, входящую в выражение:

${\mathop{lim}_{n\to \infty } \frac{n^2-3n+2}{2n^2-n-1}\ }={\mathop{lim}_{x\to \infty } \frac{n^2\left(1-\frac{3}{n}+\frac{2}{n^2}\right)}{n^2\left(2-\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}\right)}\ }={\mathop{lim}_{n\to \infty } \frac{1-\frac{3}{n}+\frac{2}{n^2}}{2-\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}}\ }$

Если в знаменателе стоит бесконечно большая величина, то весь предел стремится к нулю, $\mathop{lim}_{n\to \infty }\frac{1}{n}=0$, использовав это, получим:

${\mathop{lim}_{n\to \infty } \frac{1-\frac{3}{n}+\frac{2}{n^2}}{2-\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}}\ }=\frac{1-0+0}{2-0-0}=\frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

Понятие предела функции в точке

Понятие предела функции в точке имеет два классических определения:

Определение термина «предел» по Коши

Действительное число $A$ называется пределом функции $f\left(x\right)$ при $x\to a$, если для любого $\varepsilon > 0$ существует $\delta >0$, зависящий от $\varepsilon $, такой, что для любого $x\in X^{\backslash a}$, удовлетворяющих неравенству $\left|x-a\right|

Определение по Гейне

Действительное число $A$ называется пределом функции $f\left(x\right)$ при $x\to a$, если для любой последовательности $(x_n)\in X$, сходящейся к числу $a$, последовательность значений $f(x_n)$ сходится к числу $A$.

Эти два определения связаны между собой.

Замечание 1

Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.

Помимо классических подходов к вычислению пределов функции, вспомним формулы, которые могут также помочь в этом.

Таблица эквивалентных функций, когда $x$ бесконечно мал (стремится к нулю)

Одним из подходов к решению пределов является принцип замены на эквивалентную функцию . Таблица эквивалентных функций представлена ниже, чтобы ей воспользоваться, необходимо вместо функций справа подставить в выражение соответствующую элементарную функцию слева.

Рисунок 1. Таблица эквивалентности функций. Автор24 - интернет-биржа студенческих работ

Также для решения пределов, значения которых сводятся к неопределённости, возможно применить правило Лопиталя. В общем случае неопределённость вида $\frac{0}{0}$ можно раскрыть разложив на множители числитель и знаменатель и затем сократив. Неопределённость, имеющую форму $\frac{\infty }{\infty}$ возможно разрешить после деления выражений в числителе и знаментателе на переменную, при которой находится старшая степень.

Замечательные пределы

Первый замечательный предел:

${\mathop{lim}_{x\to 0} \frac{sinx}{x}\ }=1$

Второй замечательный предел:

$\mathop{lim}_{x\to 0}{(1+x)}^{\frac{1}{x}}=e$

Специальные пределы

Первый специальный предел:

$\mathop{lim}_{x\to 0}\frac{{{log}_a (1+x-)\ }}{x}={{log}_a e\ }=\frac{1}{lna}$

Второй специальный предел:

$\mathop{lim}_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=lna$

Третий специальный предел:

$\mathop{lim}_{x\to 0}\frac{{(1+x)}^{\mu }-1}{x}=\mu $

Непрерывность функции

Определение 2

Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $x=x_0$, если $\forall \varepsilon >{\rm 0}$ $\exists \delta (\varepsilon ,E_{0})>{\rm 0}$ такое, что $\left|f(x)-f(x_{0})\right|

Функция $f(x)$ непрерывна в точке $х=х_0$, если $\mathop{{\rm lim\; }}\limits_{{\rm x}\to {\rm x}_{{\rm 0}} } f(x)=f(x_{0})$.

Точка $x_0\in X$ называется точкой разрыва первого рода, если в ней существуют конечные пределы ${\mathop{lim}_{x\to x_0-0} f(x_0)\ }$, ${\mathop{lim}_{x\to x_0+0} f(x_0)\ }$, но нарушается равенство ${\mathop{lim}_{x\to x_0-0} f(x_0)\ }={\mathop{lim}_{x\to x_0+0} f(x_0)\ }=f(x_0)$

Причем, если ${\mathop{lim}_{x\to x_0-0} f(x_0)\ }={\mathop{lim}_{x\to x_0+0} f(x_0)\ }\ne f(x_0)$, то это точка устранимого разрыва, а если ${\mathop{lim}_{x\to x_0-0} f(x_0)\ }\ne {\mathop{lim}_{x\to x_0+0} f(x_0)\ }$, то точка скачка функции.

Точка $x_0\in X$ называется точкой разрыва второго рода, если в ней хотя бы один из пределов ${\mathop{lim}_{x\to x_0-0} f(x_0)\ }$, ${\mathop{lim}_{x\to x_0+0} f(x_0)\ }$ представляет собой бесконечность или не существует.

Пример 2

Исследовать на непрерывность $y=\frac{2}{x}$

Решение:

${\mathop{lim}_{x\to 0-0} f(x)\ }={\mathop{lim}_{x\to 0-0} \frac{2}{x}\ }=-\infty $ - функция имеет точку разрыва второго рода.

Топология – раздел математики, который занимается изучением пределов и непрерывностью функций. В соединении с алгеброй топология составляет общую основу математики.

Топологическое пространство или фигура – подмножество нашего однородного евклидового пространства, между точками которого задано некоторое отношение близости. Здесь рассматриваются фигуры не как жесткие тела, а как объекты, сделанные как бы из очень эластичной резины, допускающие непрерывную деформацию, сохраняющую их качественные свойства.

Взаимно-однозначное непрерывное отображение фигур называется гомеоморфизмом . Другими словами, фигуры гомеоморфны , если одну можно перевести в другую непрерывной деформацией.

Примеры. Гомеоморфны следующие фигуры (из разных групп фигуры не гомеоморфны), изображенные на рис. 2.

1. Отрезок и кривая без самопересечений.

2. Круг, внутренность квадрата, лента.

3. Сфера, поверхность куба и тетраэдра.

4. Окружность, эллипс и заузленная окружность.

5. Кольцо на плоскости (круг с дыркой), кольцо в пространстве, два раза перекрученное кольцо, боковая поверхность цилиндра.

6. Лист Мёбиуса, т.е. один раз перекрученное кольцо, и три раза перекрученное кольцо.

7. Поверхность тора (бублика), сфера с ручкой и заузленный тор.

8. Сфера с двумя ручками и крендель с двумя дырками.

В математическом анализе функции изучаются методом пределов. Переменная и предел – основные понятия.

В различных явлениях некоторые величины сохраняют свое численное значение, другие изменяются. Совокупность всех числовых значений переменной величины называется областью изменения этой переменной .

Из разнообразных способов поведения переменной величины наиболее важен такой, при котором переменная величина стремится к некоторому пределу.

Постоянное число a называется пределом переменной величиныx , если абсолютная величина разности между x иa () становится в процессе изменения переменной величины x сколь угодно малой:

Что значит « сколь угодно малой »? Переменная величина х стремится к пределу а ,если для любого сколь угодно малого (произвольно малого) числа найдется такой момент в изменении переменной х ,начиная с которого выполняется неравенство .

Определение предела имеет простой геометрический смысл: неравенство означает, что х находится в -окрестности точки a , т.е. в интервале .

Таким образом, определение предела можно дать в геометрической форме:

Число а является пределом переменной величины х , если для любой сколь угодно малой (произвольно малой) -окрестности числа а можно указать такой момент в изменении переменной х , начиная с которого все ее значения попадают в указанную -окрестность точки а .

Замечание . Переменная величина х может по-разному приближаться к своему пределу: оставаясь меньше этого предела (слева), больше (справа), колеблясь около значения предела.

Предел последовательности

Функцией называется закон (правило) по которому каждому элементу x некоторого множества X соответствует единственный элемент y множества Y.

Функция может быть задана на множестве всех натуральных чисел: . Такая функция называется функцией натурального аргумента или числовой последовательностью .

Так как последовательность, как и всякое бесконечное множество, нельзя задать перечислением, то она задается общим членом: , где – общий член последовательности.

Дискретной переменной называется общий член последовательности .

Для последовательности слова «начиная с некоторого момента» означают слова «начиная с некоторого номера».

Число а называется пределом последовательности , если для любого сколь угодно малого (произвольно малого) числа найдется такой номер N , что для всех членов последовательности с номером n >N выполняется неравенство .

или при .

Геометрически определение предела последовательности означает следующее: для любой сколь угодно малой (произвольно малой) -окрестности числа а найдется такой номер, что все члены последовательности с большими, чем N , номерами, попадают в эту окрестность. Вне окрестности оказывается лишь конечное число начальных членов последовательности. Натуральное число N зависит от : .

Z {0, ±1, ±2, ±3,...} Множество целых чисел.Множество целых чисел включает в себя множество натуральных. Q Множество рациональных чисел.Кроме целых чисел имеются ещё и дроби. Дробь - это выражение вида , где p - целое число, q - натуральное. Десятичные дроби также можно записать в виде . Например: 0,25 = 25/100 = 1/4. Целые числа также можно записать в виде . Например, в виде дроби со знаменателем "один": 2 = 2/1.Таким образом любое рациональное число можно записать десятичной дробью - конечно или бесконечной периодической. R Множество всех вещественных чисел. Иррациональные числа - это бесконечные непериодические дроби. К ним относятся: Вместе два множества (рациональных и иррациональных чисел) - образуют множество действительных (или вещественных) чисел.

Если множество не содержит ни одного элемента, то оно называется пустым множеством и записывается Ø .

Квантор существования

∃- квантор существования , используется вместо слов "существует",

"имеется". Используется также сочетание символов ∃!, которое читается как существует единственный.

Абсолютная величина

Определение. Абсолютной величиной (модулем) действительного числа называется неотрицательное число , которое определяется по формуле:

Так, например,

Свойства модуля

Если и – действительные числа, то справедливы равенства:

Функция

зависимость между двумя или большим количеством величин, при которой каждым значениям одних величин, называемых аргументами функции, ставятся в соответствие значения других величин, называемых значениями функции.

Область определения функции

Областью определения функции называют те значения независимой переменной x, при которых все операции, входящие в функцию будут выполнимы.

Непрерывная функция

Функция f (x), определенная в некоторой окрестности точки a, называется непрерывной в этой точке, если

Числовые последовательности

функция вида y = f (x ), x О N ,где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f (n )или y 1 , y 2 ,…, y n ,…. Значения y 1 , y 2 , y 3 ,…называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.

Предел функции непрерывного аргумента

Число А называется пределом функции y=f(x) при x->x0,если для всех значений x, достаточно мало отличающихся от числа x0, соответствующие значения функции f(x) как угодно мало отличается от числа A

Бесконечно малая функция

Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x →∞, если или , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.