· Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия. Чтобы свободные колебания были гармоническими, необходимо, чтобы колебательная система была линейной (описывалась линейными уравнениями движения), и в ней отсутствовала диссипация энергии (последняя вызвала бы затухание).

· Вынужденные колебания совершаются под воздействием внешней периодической силы. Чтобы они были гармоническими, достаточно чтобы колебательная система была линейной (описывалась линейными уравнениями движения), а внешняя сила сама менялась со временем как гармоническое колебание (то есть чтобы зависимость от времени этой силы была синусоидальной).

Особую роль в колебательных процессах имеет простейший вид колебаний - гармонические колебания. Гармонические колебания лежат в основе единого подхода при изучении колебаний различной природы, так как колебания, встречающиеся в природе и технике, часто близки к гармоническим, а периодические процессы иной формы можно представить как наложение гармонических колебаний.

Гармоническими колебаниями называются такие колебания, при которых колеблющаяся величина меняется от времени по закону синуса или косинуса .
Уравнение гармонических колебаний имеет вид:

,
где A - амплитуда колебаний (величина наибольшего отклонения системы от положения равновесия) ; - круговая (циклическая) частота. Периодически изменяющийся аргумент косинуса - называется фазой колебаний . Фаза колебаний определяет смещение колеблющейся величины от положения равновесия в данный момент времени t. Постояннаяφ представляет собой значение фазы в момент времени t = 0 и называется начальной фазой колебания . Значение начальной фазы определяется выбором начала отсчета. Величина x может принимать значения, лежащие в пределах от -A до +A.
Промежуток времени T, через который повторяются определенные состояния колебательной системы, называется периодом колебаний . Косинус - периодическая функция с периодом 2π, поэтому за промежуток времени T, через который фаза колебаний получит приращение равное 2π, состояние системы, совершающей гармонические колебания, будет повторяться. Этот промежуток времени T называется периодом гармонических колебаний.
Период гармонических колебаний равен : T = 2π/ .
Число колебаний в единицу времени называется частотой колебаний ν.
Частота гармонических колебаний равна: ν = 1/T. Единица измерения частоты герц (Гц) - одно колебание в секунду.
Круговая частота = 2π/T = 2πν дает число колебаний за 2π секунд.

Графически гармонические колебания можно изображать в виде зависимости x от t (рис.1.1.А), так и методом вращающейся амплитуды (метод векторных диаграмм) (рис.1.1.Б).

Метод вращающейся амплитуды позволяет наглядно представить все параметры, входящие в уравнение гармонических колебаний. Действительно, если вектор амплитуды А расположен под углом φ к оси х (см. Рисунок 1.1. Б), то его проекция на ось х будет равна: x = Acos(φ). Угол φ и есть начальная фаза. Если вектор А привести во вращение с угловой скоростью , равной круговой частоте колебаний, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси х и принимать значения, лежащие в пределах от -A до +A, причем координата этой проекции будет меняться со временем по закону:
.
Таким образом, длина вектора равна амплитуде гармонического колебания, направление вектора в начальный момент образует с осью x угол равный начальной фазе колебаний φ, а изменение угла направления от времени равно фазе гармонических колебаний. Время, за которое вектор амплитуды делает один полный оборот, равно периоду Т гармонических колебаний. Число оборотов вектора в секунду равно частоте колебаний ν.

1. Распространение колебаний в биологических средах. Поперечные и продольные волны

Если в каком-нибудь месте твердой, жидкой или газообразной среды возбуждены колебания частиц, то вследствие взаимодействия атомов и молекул среды колебания начинают передаваться от одной точки к другой с конечной скоростью. Процесс распространения колебаний в среде называется волной.

Механические волны бывают разных видов. Если в волне частицы среды испытывают смещение в направлении, перпендикулярном направлению распространения, то волна называется поперечной. Примером волны такого рода могут служить волны, бегущие по натянутому резиновому жгуту (рис. 2.6.1) или по струне.

Если смещение частиц среды происходит в направлении распространения волны, то волна называется продольной. Волны в упругом стержне (рис. 2.6.2) или звуковые волны в газе являются примерами таких волн.

Волны на поверхности жидкости имеют как поперечную, так и продольную компоненты.

Как в поперечных, так и в продольных волнах переноса вещества в направлении распространения волны не происходит. В процессе распространения частицы среды лишь совершают колебания около положений равновесия. Однако волны переносят энергию колебаний от одной точки среды к другой.

Характерной особенностью механических волн является то, что они распространяются в материальных средах (твердых, жидких или газообразных). Существуют волны, которые способны распространяться и в пустоте (например, световые волны). Для механических волн обязательно нужна среда, обладающая способностью запасать кинетическую и потенциальную энергию. Следовательно, среда должна обладатьинертными и упругими свойствами. В реальных средах эти свойства распределены по всему объему. Так, например, любой малый элемент твердого тела обладает массой и упругостью. В простейшей одномерной модели твердое тело можно представить как совокупность шариков и пружинок (рис. 2.6.3).

Если в каком-либо месте упругой среды (твердой, жидкой или газообразной) возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами это колебание начнет распространяться в среде от частицы к частице с некоторой скоростью v.

Например, если в жидкую или газообразную среду поместить колеблющееся тело, то колебательное движение тела будет передаваться прилегающим к нему частицам среды. Они, в свою очередь, вовлекают в колебательное движение соседние частицы и так далее. При этом все точки среды совершают колебания с одинаковой частотой, равной частоте колебания тела. Эта частота называетсячастотой волны.

Волной называется процесс распространения механических колебаний в упругой среде.

Частотой волны называется частота колебаний точек среды, в которой распространяется волна.

С волной связан перенос энергии колебаний от источника колебаний к периферийным участкам среды. При этом в среде возникают

периодические деформации, которые переносятся волной из одной точки среды в другую. Сами частицы среды не перемещаются вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия. Поэтому распространение волны не сопровождается переносом вещества.

В соответствии с частотой механические волны делятся на различные диапазоны, которые указаны в табл. 2.1.

Таблица 2.1. Шкала механических волн

В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к направлению распространения волны, различают продольные и поперечные волны.

Продольные волны - волны, при распространении которых частицы среды колеблются вдоль той же прямой, по которой распространяется волна. При этом в среде чередуются области сжатия и разряжения.

Продольные механические волны могут возникать во всех средах (твердых, жидких и газообразных).

Поперечные волны - волны, при распространении которых частицы колеблются перпендикулярно направлению распространения волны. При этом в среде возникают периодические деформации сдвига.

В жидкостях и газах упругие силы возникают только при сжатии и не возникают при сдвиге, поэтому поперечные волны в этих средах не образуются. Исключение составляют волны на поверхности жидкости.

ОК-9 Распространение колебаний в упругой среде

Волновое движение - механические волны, т. е. волны, которые распространяются только в веществе (морские, звуковые, волны в струне, волны землетрясений). Источниками волн являются колебания вибратора.

Вибратор - колеблющееся тело. Создает колебания в упругой среде.

Волной называются колебания, распространяющиеся в пространстве с течением времени.

Волновая поверхность - геометрическое место точек среды, колеблющихся в одинаковых фазах

Л
уч - линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением распространения волны.

Причина возникновения волн в упругой среде

Если вибратор колеблется в упругой среде, то он воздействует на частицы среды, заставляя их совершать вынужденные колебания. За счет сил взаимодействия между частицами среды колебания передаются от одной частицы к другой.

Т
ипы волн

Поперечные волны

Волны, в которых колебания частиц среды происходят в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны. Возникают в твердых телах и на поверхности поды.

П
родольные волны

Колебания происходят вдоль распространения волны. Могут возникать в газах, жидкостях и твердых телах.

Поверхностные волны

В
олны, которые распространяются на границе раздела двух сред. Волны на границе между водой и воздухом. Еслиλ меньше глубины водоема, то каждая частица воды на поверхности и вблизи от нее движется по эллипсу, т.е. представляет собой комбинацию колебаний в продольном и поперечном направлениях. У дна же наблюдается чисто продольное движение.

Плоские волны

Волны, у которых волновые поверхности являются плоскостями, перпендикулярными на правлению распространения волн.

Сферические волны

Волны, у которых волновые поверхности являются сферами. Сферы волновых поверхностей концентрические.

Характеристики волнового движения

Длина волны

Наименьшее расстояние между двумя гонками, колеблющимися в одной фазе, называется длиной волны. Зависит только от среды, в которой распространяется волна, при равных частотах вибратора.

Частота

Частота ν волнового движения зависит только от частоты вибратора.

Скорость распространения волны

Скорость v=λν . Так как
, то
. Однако скорость распространения волны зависит от вида вещества и его состояния; отν иλ , не зависит.

В идеальном газе
, гдеR - газовая постоянная;М - молярная масса;Т - абсолютная температура;γ - постоянная для данного газа;ρ - плотность вещества.

В твердых телах поперечные волны
, гдеN - модуль сдвига; продольные волны
, гдеQ - модуль всестороннего сжатия. В твердых стержнях
гдеЕ - модуль Юнга.

В твердых телах распространяются как поперечные, так и продольные волны с разными скоростями. На этом основан способ определения эпицентра землетрясения.

Уравнение плоской волны

Его вид x =x 0 sinωt (t −l /v) =x 0 sin(ωt −kl ), гдеk = 2π /λ - волновое число;l - расстояние, пройденное волной от вибратора до рассматриваемой точкиА .

Запаздывание по времени колебаний точек среды:
.

Запаздывание по фазе колебаний точек среды:
.

Разность фаз двух колеблющихся точек: ∆φ =φ 2 −φ 1 = 2π (l 2 −l 1)/λ .

Энергия волны

Волны переносят энергию от одной колеблющейся частицы к другой. Частицы совершают только колебательные движения, но не движутся вместе с волной: E =E к +E п,

где E к - кинетическая энергия колеблющейся частицы;E п - потенциальная энергия упругой деформации среды.

В некотором объеме V упругой среды, в которой распространяется волна с амплитудойх 0 и циклической частотойω , имеется средняя энергияW , равная
, гдеm - масса выделенного объема среды.

Интенсивность волны

Физическая величина, которая равна энергии, переносимой волной за единицу времени через единицу площади поверхности перпендикулярно направлению распространения волны, называется интенсивностью волны:
. Известно, чтоW иj ~.

Мощность волны

Если S - поперечная площадь поверхности, через которую волной переносится энергия, аj - интенсивность волны, то мощность волны равна:p =jS .

ОК-10 Звуковые волны

Упругие волны, вызывающие у человека ощущение звука, называются звуковыми волнами.

16 –2∙10 4 Гц - слышимые звуки;

меньше 16 Гц - инфразвуки;

больше 2∙10 4 Гц - ультразвуки.

О
бязательное условие для возникновения звуковой волны - наличие упругой среды.

М
еханизм возникновения звуковой волны аналогичен возникновению механической волны в упругой среде. Совершая колебания в упругой среде, вибратор воздействует на частицы среды.

Звук создают долговременные периодические источники звука. Например, музыкальный: струна, камертон, свист, пение.

Шум создают долговременные, но не периодические источники звука: дождь, море, толпа.

Скорость звука

Зависит от среды и ее состояния, как и для любой механической волны:

.

При t = 0°Сv воды = 1430 м/с,v стали = 5000 м/с,v воздуха = 331 м/с.

Приемники звуковых волн

1. Искусственные: микрофон преобразует механические звуковые колебания в электрические. Характеризуются чувствительностью σ :
,σ зависит отν з.в. .

2. Естественные: ухо.

Его чувствительность воспринимает звук при ∆p = 10 −6 Па.

Чем меньше частота ν звуковой волны, тем меньше чувствительностьσ уха. Еслиν з.в. уменьшается от 1000 до 100 Гц, тоσ уха уменьшается в 1000 раз.

Исключительная избирательность: дирижер улавливает звуки отдельных инструментов.

Физические характеристики звука

Объективные

1. Звуковое давление - давление, оказываемое звуковой волной на стоящее перед ней препятствие.

2. Спектр звука - разложение сложной звуковой волны на составляющие ее частоты.

3. Интенсивность звуковой волны:
, гдеS - площадь поверхности;W - энергия звуковой волны;t - время;
.

Субъективные

Громкость, как и высота, звука связана с ощущением, возникающим в сознании человека, а также с интенсивностью волны.

Человеческое ухо способно воспринимать звуки интенсивностью от 10 −12 (порог слышимости) до 1(порог болевого ощущения).

Г

ромкость не является прямо пропорциональной величиной интенсивности. Чтобы получить звук в 2 раза большей громкости, надо интенсивность увеличить в 10 раз. Волна, имеющая интенсивность 10 −2 Вт/м 2 , звучит в 4 раза громче, чем волна интенсивностью 10 −4 Вт/м 2 . Из-за этого соотношения между объективным ощущением громкости и интенсивностью звука используют логарифмическую шкалу.

Единицей этой шкалы является бел (Б) или децибел (дБ), (1 дБ = 0,1 Б), названная в честь физика Генриха Бела. Уровень громкости выражается в белах:
, гдеI 0 = 10 −12 порог слышимости (усредненный).

Е
слиI = 10 −2 , то
.

Громкие звуки вредны для нашего организма. Санитарная норма равна 30–40 дБ. Это громкость спокойной тихой беседы.

Шумовая болезнь: высокое артериальное давление крови, нервная возбудимость, тугоухость, быстрая утомляемость, плохой сон.

Интенсивность и громкость звука от различных источников: реактивный самолет - 140 дБ, 100 Вт/м 2 ; рок-музыка в закрытом помещении - 120 дБ, 1 Вт/м 2 ; обычный разговор (50 см от него) - 65 дБ, 3,2∙10 −6 Вт/м 2 .

Высота звука зависит от частоты колебаний: чем >ν , тем выше звук.

Т
ембр звука позволяет различать два звука одинаковой высоты и громкости, издаваемых различными инструментами. Он зависит от спектрального состава.

Ультразвук

Применяется: эхолот для определения глубины моря, приготовление эмульсий (вода, масло), отмывка деталей, дубление кожи, обнаружение дефектов в металлических изделиях, в медицине и др.

Распространяется на значительные расстояния в твердых телах и жидкостях. Переносит энергию значительно большую, чем звуковая волна.

Глава 2. ВОЛНЫ

Волновой процесс. Виды волн

Твердые, жидкие и газообразные тела можно рассматривать как среды, состоящие из отдельных частиц, взаимодействующих между собой. Если возбудить колебания частиц в локальной области среды, то за счет сил взаимодействия возникнут вынужденные колебания соседних частиц, что, в свою очередь, вызовет колебания связанных с ними частиц и т.д. Таким образом, колебания возбужденные в какой-либо точке среды, будут распространяться в ней с некоторой скоростью, зависящей от свойств среды. Чем дальше расположена частица от источника колебаний, тем позднее она начнет колебательное движение . Иначе говоря, фаза колебаний частиц среды зависит от расстояния до источника.

Процесс распространения колебаний в некоторой среде называется волновым процессом или волной.

Частицы среды, в которой распространяется волна, совершают колебательное движение около своих положений равновесия. При распространении волны частицы среды не переносятся волной. Вместе с волной от частицы к частице среды передаются колебательное движение и его энергия. Таким образом, основным свойством волн независимо от их природы является перенос энергии без переноса вещества .

В природе и технике встречаются следующие виды волн: гравитационно-капиллярные волны (волны на поверхности жидкости), упругие волны (распространение механических возмущений в упругой среде) и электромагнитные (распространение в среде электромагнитных возмущений).

Упругие волны бывают продольными и поперечными . В продольных волнах частицы среды колеблются в направлении распространения волны , в поперечных - в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны (рис. 2.1.1, а; б).

Что понимают под волнами? Какие бывают волны? Где в природе наблюдаются волны? Что такое электромагнитные волны? Как проявляются на опыте электромагнитные волны различных диапазонов?

Урок-лекция

ЧТО ТАКОЕ ВОЛНА . Движение волн человек наблюдал с древних времен, и многие писатели. поэты, художники обращались к образу волны. Научное понятие волны появилось значительно позднее. Что же такое волна в научном понимании? В литературных произведениях, подобных тому, которое приводится в эпиграфе, под волнами понимаются гребни («горы»), следующие один за другим. Однако выделять один гребень и рассматривать лишь его было бы неправильно. В науке о природе под волной понимают все совокупное движение в какой-либо области пространства. То, что волны движутся, очевидно следует из опыта.

Волна - это процесс распространения колебаний различной природы во времени и в пространстве.

Закрепим один конец веревки на опоре, а за другой натянем веревку, держа ее в руке. Сделав рукой резкое движение, показанное стрелками на рисунке 65, мы увидим, как по веревке побежит волна. Несложно понять, веревки не бегут вместе с волной.

Рис. 65. Волна в натянутой веревке

Мы можем измерить время, за которое волна дошла от места падения камня до некоторой точки на поверхности воды и, зная это расстояние, вычислить скорость волны. Однако движение волны не просто движение частичек воды. В этом легко убедиться, бросив в волну щепку. Если бы частички воды двигались вместе с волной, они увлекали бы за собой щепку. Однако, поколебавшись с волной, щепка остается на месте.

Результаты опытов указывают на то, что процесс движения волны не является перемещением частиц со скоростью волны. Волна - это процесс распространения колебания частиц.

В более общем случае, например в электромагнитной волне , колеблются не частицы, а поля. При этом нельзя сказать, что поле перемещается в пространстве. Оно просто исчезает в одной точке пространства и возникает в другой точке пространства. Таким образом, можно сделать вывод, что волна - это процесс распространения колебаний в различных системах.

Следует заметить, что определение волны как колебаний не совсем строгое. Например, звуковая ударная волна, образующаяся в результате взрыва (разряда молнии) - это резкий скачок давления (рис. 66). Как будет показано далее, такие волны могут быть представлены как сумма различных колебаний.

Рис. 66. Зависимость давления звуковой волне от расстояния в ударной

ПРИРОДА ВОЛН . Попробуем теперь ответить на вопросы, что же колеблется при распространении волны и где в природе встречаются волны. Проще всего ответить на второй вопрос: волны существуют везде. В различных уголках нашей огромной Вселенной можно найти места, где практически нет вещества, т. е. атомов и молекул. Однако нет места, куда не доходит свет звезд, который представляет собой электромагнитную волну. Но, может быть, закрывшись в темной комнате, мы спрячемся от волн? И это невозможно. В комнату проникают радиоволны, а стены комнаты, как и мы сами, излучают электромагнитные волны, невидимые для глаза.

Природа волн очень разнообразна, однако увидеть волны можно только в исключительных случаях; примером являются волны на поверхности воды и волна в натянутой веревке (см. рис. 65). В этих случаях мы видим колебания. Колебания, происходящие в других волнах, невидимы и могут быть изучены только при применении специальных приборов. Примером является звук, представляющий собой распространяющиеся колебания давления воздуха. Эти колебания, доходя до барабанной перепонки уха, вызывают ощущение звука, но установить, что это именно колебания, можно, лишь используя приборы.

Звук распространяется не только в газах, но и в жидкостях и твердых телах; важно, чтобы такие тела обладали достаточной упругостью. Более общее название таких волн - волны упругости . К подобным волнам относятся также и волны в натянутых нитях, например волны в струнах музыкапьных инструментов.

При распространении волн упругости происходит движение частиц, составляющих вещество. При распространении электромагнитных волн никакие частицы не движутся, происходит просто изменение электрических и магнитных полей в пространстве.

Электромагнитные поля обычно регистрируются приборами, но некоторые из них, например свет, воспринимаются органами чувств, хотя никаких колебаний мы при этом не видим.

Мы привели далеко не все примеры волн, однако и этих примеров достаточно, чтобы составить представление о большом разнообразии волн.

Волны могут иметь разнообразную природу,

ШКАЛА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН . Из курса физики вспомните понятие «длина волны».

Электромагнитные волны являются наиболее распространенными в природе. Среди прочих волн электромагнитные волны замечательны тем, что диапазон, в котором изменяются частоты и соответственно длины волн, очень велик. Различные приборы способны регистрировать электромагнитные волны с длиной волны от нескольких километров до долей пикометра (10 -12 м). В таблице приведены названия волн различных диапазонов и некоторые свойства волн.

Добавим к информации, которая указана в последней колонке таблицы, что волны всех диапазонов используются для определения спектров различных веществ. На основе анализа спектров получается информация о составе веществ. Кроме того, волны всех диапазонов находят в настоящее время применение в медицине (УВЧ- и СВЧ-терапия, флюорография, лазерная хирургия глаза, лечение раковых заболеваний и др.).

В таблице приведены сведения о вредных последствиях, вызываемых сильными электромагнитными волнами. Однако сильные звуковые волны также оказывают на организм вредное воздействие. Поэтому при работе в повышенной шумовой обстановке необходимо использовать шумозащитные устройства (наушники). Вредное влияние на организм может оказать также длительное прослушивание громкой музыки.

Некоторые «безобидные» приборы, например лазерные указки, оптические мыши излучают свет, способный повредить зрение при прямом попадании в глаз. Не играй те с такими приборами, направляя излучение в глаз!

• Чем обусловлено вредное воздействие некоторых электромагнитных волн на вые организмы?
• Могут ли оказывать вредное воздействие на организм волны другой (не элект ромагнитной) природы? Приведите примеры.
• Проделайте опыт с волной в натянутой веревке и попытайтесь ответить на вопросы: а) какова скорость распространения такой волны; б) как эта скорость из меняется при изменении натяжения веревки и при изменении свойств веревки (например, ее толщины)?

Процесс распространения колебаний в упругой среде называется волной. Расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебания, называется длиной волны. Длина волны связана с периодом колебания частиц T и скоростью распространения волны u соотношением

λ = υT или λ = υ /ν,

где ν = 1/T - частота колебания частиц среды.

Если две волны одинаковой частоты и амплитуды распространяются навстречу друг другу, то в результате их наложения при определенных условиях может возникнуть стоячая волна. В среде, где установились стоячие волны, колебания частиц происходят с различной амплитудой. В определенных точках среды амплитуда колебания равна нулю, эти точки называются узлами; в других точках амплитуда равна сумме амплитуд складываемых колебаний, такие точки называются пучностями. Расстояние между двумя соседними узлами (или пучностями) равно l/2, где l - длина бегущей волны (рис. 1).

Стоячая волна может образоваться при наложении падающей и отраженной волн. При этом, если отражение происходит от среды во много раз более плотной, чем среда, в которой распространяется волна, то в месте отражения смещение частиц равно нулю, то есть образуется узел. Если волна отражается от среды менее плотной, то из-за слабого задерживающего действия частиц второй cреды на границе возникают колебания с удвоенной амплитудой, то есть образуется пучность. В том случае, когда плотности сред мало отличаются друг от друга, наблюдается частичное отражение волн от границы раздела двух сред.

Рассмотрим стоячие волны, которые образуются в трубе с воздухом длиной l , закрытой с двух сторон (рис. 1а). Через небольшое отверстие в одном конце трубы при помощи динамика возбудим колебания звуковой частоты. Тогда в воздухе внутри трубы распространится звуковая волна, которая отразится от другого закрытого конца и побежит обратно. Казалось бы, что должна возникнуть стоячая волна при любой частоте колебаний. Однако, в трубе, закрытой с двух сторон, на концах должны образовываться узлы. Это условие выполняется, если в трубе укладывается половина длины бегущей волны: l = l/2 (рис. 1б). Здесь амплитуды смещения частиц воздуха отложены по вертикали. Сплошной линией изображена бегущая волна, пунктиром - отраженная. В трубе возможна и такая стоячая волна, где имеется и еще один узел, при этом укладываются две половины длины волны: l = 2l/2 (рис. 1в). Следующая стоячая волна возникает, когда длина бегущей волны удовлетворяет условию l = 3λ/2 (рис. 1г). Таким образом, в трубе, закрытой с двух сторон, стоячая волна образуется в тех случаях, когда на длине трубы укладывается целое число половин длин волн:

где m = 1, 2, 3. Выразив l из (1) и подставив в формулу ν = υ /λ,