Цель: найти натуральную величину сечения прямого кругового конуса методом замены плоскостей.

Контрольные вопросы:

1. Перечислите виды сечения кругового конуса?

Задание: методом замены плоскостей проекций найти натуральную величину сечения прямого кругового конуса фронтально-проецирующей плоскостью; объекты заданы проекциями на горизонтальную и фронтальную плоскость (варианты заданий приведены в приложении В).

Решим задачу с помощью однократной замены плоскостей проекций. Фигура сечения представляет собой эллипс, который изображается на фронтальной плоскости проекций отрезком прямой, а на горизонтальной плоскости проекций - эллипсом.

Исходные данные для решения задачи приведены на рисунке 7.1.

Заметим, что фронтальная проекция сечения задается отрезком 1 2 – 2 2 и ее длина определяет длину одной из осей искомого эллипса. Построим проекцию осевой линии на плоскость П 5 и найдем проекцию оси 1-2 на эту плоскость и на горизонтальную плоскость (рис. 7.2).

Вторая ось эллипса представляет собой фронтально-проецирующий горизонтальный отрезок, его фронтальная проекция представляет собой точку в середине отрезка 1 2 – 2 2 . Для определения длины этой оси проведем через эту точку вспомогательную фронтально-проецирующую горизонтальную плоскость Σ. Плоскость Σ пересекает конус по окружности, на рисунке 7.3 показано, как определить ее радиус и построить горизонтальную проекцию. Вторая ось эллипса лежит в плоскости этой окружности и касается поверхности конуса в точках 3 и 4. На рисунке 7.4 показано отыскание горизонтальных проекций этих точек. Отрезок 3 2 – 4 2 определяет длину второй оси эллипса.

Построим проекцию оси 3-4 на плоскость П 5 , для этого, как и в предыдущих лабораторных работах, применим команду ALIGN. Результат приведен на рисунке 7.5. Для наглядности горизонтальная проекция оси восстановлена.

На рисунке 7.6 показан результат построения натуральной величины сечения в виде эллипса, заданного осями 1 5 – 2 5 и 3 5 – 4 5 . На этом же рисунке построена горизонтальная проекция сечения, это тоже эллипс, заданный осями 1 1 – 2 1 и 3 1 – 4 1 .

Трехмерная модель сечения приведена на рисунке 7.7.

Рисунок 7.7 – Трехмерная модель сечения

Если секущая плоскость пересекает основание конуса, следует продлить коническую поверхность так, чтобы плоскость пересекала все образующие. Это даст возможность построить сечение в виде эллипса и высечь из него эллиптическую дугу, представляющую сечение заданного конуса (рис. 7.8). Это можно сделать с помощью команды TRIM, воспользовавшись в качестве секущих кромок отрезками 5 5 – 6 5 (для натуральной величины сечения) и 5 1 – 6 1 (для горизонтальной проекции сечения).

Рисунок 7.8 – Сечение в виде эллиптической дуги

Трехмерная модель для этого случая приведена на рисунке 7.9.

Рисунок 7.9 – Трехмерная модель сечения в виде эллиптической дуги

Лабораторная работа №8

Источник задания: Решение 4849. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Ответ.

Задание 14. Радиус основания конуса равен 12, а высота конуса равна 5.

а) Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса и взаимно перпендикулярные образующие.

б) Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания конуса.

Решение.

а) Взаимно перпендикулярные образующие дают прямой угол, следовательно, искомое сечение – прямоугольный треугольник ASB с гипотенузой AB и катетами AS и BS (см. рисунок).

б) Расстояние от плоскости сечения до центра основания конуса O есть отрезок OK (см. рисунок). Сначала найдем длину отрезка AB из прямоугольного треугольника ABS. Отрезки AS=SB=13 и по теореме Пифагора имеем:

.

Теперь найдем длину ON из прямоугольного треугольника AON. Так как треугольник AOB равнобедренный, то высота ON также является медианой, следовательно, катет AN=AB:2, и ON равна:

.

Найдем длину отрезка SN из прямоугольного треугольника ASB. Можно заметить, что SN – это высота, проведенного из прямого угла, а отрезки AN и BN – это радиусы описанной окружности вокруг треугольника. Следовательно, SN – это тоже радиус и (см. рисунок).

Отрезок OK является высотой прямоугольного треугольника SON. Найдем его высоту из формулы площади

,

где - формула площади для прямоугольного треугольника, т.е.

Задание.

Радиус основания конуса равен 12, а высота конуса равна 5.

а) Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса и взаимно перпендикулярные образующие.

б) Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания конуса.

Решение:

а) Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса и взаимно перпендикулярные образующие.

Так как сечение проходит через взаимно перпендикулярные образующие, то искомое сечение есть прямоугольный треугольник ∆АВС. Угол ∠АСВ = 90°, АС и ВС – катеты, АВ – гипотенуза.

б) Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания конуса.

Расстоянием от точки до плоскости называется перпендикуляр, проведенный от точки до данной плоскости.

Треугольник ∆АВС – равнобедренный, так как АС = ВС (образующие конуса). Тогда СМ – медиана и высота треугольника ∆АВС. Треугольник ∆АОВ – равнобедренный, так как АО = ОВ = R осн. Тогда ОМ – медиана и высота треугольника ∆АОВ.

Прямая СО перпендикулярна плоскости основания, СМ – наклонная к плоскости основания, МО – проекция наклонной МО на плоскость основания. Точка М – основание наклонной, через точку М проходит прямая АВ перпендикулярно проекции МО, тогда по теореме о трех перпендикулярах прямая АВ перпендикулярна наклонной СМ.

Прямая АВ перпендикулярна двум пересекающимся прямым СМ и МО, лежащим в плоскости СМО, следовательно, АВ перпендикулярна плоскости СМО. АВ лежит в плоскости АВС, значит, плоскости СМО и АВС перпендикулярны. Следовательно, расстоянием от центра О основания окружности до плоскости сечения АВС будет являться перпендикуляр ОК (высота треугольника ∆МОС).

Из прямоугольного треугольника ∆АСО найдем АС:

АС 2 = АО 2 + ОС 2

АС 2 = 12 2 + 5 2 = 169

Из прямоугольного треугольника ∆АВС найдем АВ:

АВ 2 = АС 2 + ВС 2

АВ 2 = 13 2 + 13 2 = 338

МВ = 1/2·АВ

МВ = (13√2)/2

Из прямоугольного треугольника ∆МВО найдем ОМ:

ОМ 2 = ОВ 2 – МВ 2

Из прямоугольного треугольника ∆МВС найдем МС:

МС 2 = ВС 2 – ВМ 2

Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆МОС, площадь этого треугольника можно найти по формуле:

Который исходит из одной точки (вершина конуса) и которые проходят через плоскую поверхность.

Бывает, конусом называется часть тела, которая имеет ограниченный объём и которая получена путем объединения каждого отрезка, которые соединяют вершину и точки плоской поверхности. Последняя, в таком случае, является основанием конуса , а конус называется опирающимся на данное основание.

Когда основание конуса является многоугольником - это уже пирамида .

Площадь боковой поверхности правильной n -угольной пирамиды, вписанной в конус:

S n =½P n l n ,

где P n - периметр основания пирамиды, а l n - апофема.

По тому же принципу: для площади боковой поверхности усеченного конуса с радиусами оснований R 1 , R 2 и образующей l получаем такую формулу:

S=(R 1 +R 2)l .

Прямой и косой круговой конусы с равным основанием и высотой. Эти тела обладают одинаковым объёмом:

Свойства конуса.

• Когда площадь основания имеет предел, значит, объём конуса тоже имеет предел и равен третьей части произведения высоты на площадь основания.

где S — площадь основания, H — высота.

Т.о., каждый конус, который опирается на это основание и имеющие вершину, которая находится на плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, так как их высоты одинаковые.

• Центр тяжести каждого конуса с объёмом, имеющим предел, находится на четверти высоты от основания.
• Телесный угол при вершине прямого кругового конуса можно выразить такой формулой:

где α — угол раствора конуса.

• Площадь боковой поверхности такого конуса, формула:

а полная площадь поверхности (то есть сумма площадей боковой поверхности и основания), формула:

S=πR(l+R),

где R — радиус основания, l — длина образующей.

• Объём кругового конуса , формула:

• Для усечённого конуса (не только прямого или кругового) объём, формула:

где S 1 и S 2 — площадь верхнего и нижнего оснований,

h и H — расстояния от плоскости верхнего и нижнего основания до вершины.

• Пересечение плоскости с прямым круговым конусом - это один из конических сечений.

Конус. Сечение конуса плоскостями

Определение. Тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащей его катет, называется конусом .

Определение. Множество точек конуса, полученное при вращении ломаной, состоящей из гипотенузы и катета, образует поверхность конуса .

Определение. Множество точек конуса, полученное при вращении катета, образует фигуру, которая называется основанием конуса .

Понятно, что основание конуса есть круг с центром на оси вращения, радиус которого равен длине катета вращаемого треугольника, не совпадающего с осью вращения.

Определение. Множество точек конуса, полученное при вращении гипотенузы треугольника, образует фигуру, которая называется боковой поверхностью конуса .

Гипотенуза треугольника называется образующей конуса. Длина катета, лежащего на оси вращения, называется высотой конуса.

Боковую поверхность конуса, как и боковую поверхность цилиндра, можно развернуть на плоскость, разрезав ее по одной из образующих. Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор , радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги сектора - длине окружности основания конуса.

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки. Выразим площадь боковой поверхности конуса через его образующую l и радиус основания r . Площадь кругового сектора равна , где α - градусная мера дуги ABA ´, поэтому

Выразим α через l и r . Так как длина дуги ABA ´ равна 2πr , то , откуда . Подставив это выражение в формулу для боковой поверхности, получим

Таким образом, площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.

Площадь полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания. Для вычисления площади полной поверхности конуса получается формула

Рассмотрим сечение конуса различными плоскостями .

1. Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то сечение представляет собой равнобедренный треугольник , основание которого - диаметр основания конуса, а боковые стороны - образующие конуса. Это сечение называется осевым .