Учебная дисциплина: Математика.

Тема: «Решение простейших тригонометрических неравенств»

Тип урока: урок усвоения нового материала с элементами первичного закрепления.

Цели урока:

1) образовательные:

показать алгоритм решения тригонометрических неравенств с использованием единичной окружности.

учить решать простейшие тригонометрические неравенства.

2) развивающие:

развитие умения обобщать полученные знания;

развитие логического мышления;

развитие внимания;

развитие у учащихся грамотной устной и письменной математической речи.

3) воспитательные:

учить высказывать свои идеи и мнения;

формировать умения помогать товарищам и поддерживать их;

формировать умения определять, чем взгляды товарищей отличаются от собственных.

Методическая цель: показать технологию овладения знаниями на уроке изучения новых знаний.

Методы обучения:

наглядно - иллюстративный;

Дидактическая цель урока: Создание условий:

для соединения новой информации с уже изученным материалом;

для развития умения осуществлять анализ и отбор необходимой информации;

для развития умений делиться своими идеями и мнениями.

для развития логики, навыков рефлексии.

Форма организации учебной деятельности: коллективная, индивидуальная.

Оборудование:

учебник Колмогорова А. Н. «Алгебра и начала анализа», 10-11 класс;

проектор, доска;

презентация MS PowerPoint.

План урока:

Организационный момент(1 мин) ;

Проверка домашнего задания(7 мин) ;

Изучение нового материала (31 мин) ;

Домашнее задание(3 мин);

Подведение итогов (3 мин)

Тема урока: Решение простейших тригонометрических неравенств.

Выполнила: преподаватель математики КГБОУ НПО «ПУ №44» Мозер О. С.

Этапы деятельности

Деятельность преподавателя	Деятельность обучающихся	Примечание
I .Организационный момент. Взаимные приветствия преподавателя и учащихся, фиксация отсутствующих; проверка внешнего состояния кабинета; проверка готовности учащихся к уроку; организация внимания.	Преподаватель: Здравствуйте! Мы на прошлых уроках учились решать простейшие тригонометрические уравнения, а сегодня будем учиться решать простейшие тригонометрические неравенства. Открываем тетради, записывает число и тему урока: «Решение простейших тригонометрических неравенств»	1.Обучающиеся приветствуют преподавателя. 2. Открывают тетради и записывают число.	Презентация. Слайд №1
II . Проверка домашнего задания.	Преподаватель: - Для начала проверим домашнее задание. Преподаватель вызывает по журналу двоих учащихся к доске.	Двое учащихся выходят к доске записывают упражнения и объясняют решение. Первый учащийся записывает упражнения под буквой а) б), а второй – в) г) д).
II . Актуализация	Преподаватель проводит фронтальный опрос: Теперь вспомним понятия изученные ранее: 1. Дайте определение единичной окружности. 2. Дайте определение линии синуса; 3. Дайте определение линии косинуса; 4. Дайте определение линии тангенса; 5. Дайте определение линии котангенса;	Примерные ответы учащихся: 1) Единичной окружностью называется окружность с радиусом единица. 2) Отрезок [-1; 1]оси ординат- называют линией синуса; 3) Ось абсцисс называют линией косинуса; 4) Касательную к единичной окружности в точке (1;0) называют линией тангенса; 5) Касательную к единичной окружности в точке (1;0) называют линией тангенса;
III. Новый материал	Преподаватель: На прошлом уроке мы решали простейшие тригонометрические уравнения, сегодня узнаем, как с помощью единичной окружности решить простейшее тригонометрическое неравенство. Решение неравенств, содержащих тригонометрические функции, сводится, как правило, к решению простейших тригонометрических неравенств вида sin x ≤ a , cos x > a , tg x ≥ a , ctg x a и т.д. Решение тригонометрических неравенств рассмотрим на конкретных примерах с помощью единичной окружности: Алгоритм решение данного неравенства: Аналогично по алгоритму, преподаватель и учащиеся решают следующие примеры:	Учащиеся записывают алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств в тетрадь.	Слайд №2 Слайд №3 Слайд №4 Слайд №5 Слайд№6 Слайд№7
IV. Домашнее задание	Записываем домашнее задание §3, п. 10, стр. 77, упр. №154 -156 в) д).	Учащиеся записывают задание в тетрадь.	Слайд №8
V . Подведение итогов	Преподаватель подводит итог урока: Итак, сегодня на уроке мы познакомились с алгоритмом решения простейших тригонометрических неравенств. Урок закончен! До свиданья!	Обучающиеся рассказывают алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности.	Слайд №9

Занятие посвящено обобщению и систематизации знаний по теме «Решение тригонометрических неравенств и их систем». В ходе работы обобщим основные виды тригонометрических неравенств, систем неравенств и методы их решения, а также дополним наши знания применением тригонометрических неравенств в нестандартных ситуациях.

1. 
   Обобщение решения простейших тригонометрических неравенств.

1. Актуализация знаний

1. Какие неравенства называются простейшими?

2. Приведите примеры простейших тригонометрических неравенств.
3. Чем можно пользоваться при решении тригонометрических неравенств?

Задание 1. Необходимо напомнить алгоритм решения тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности на конкретном примере.

Задание 2. Необходимо напомнить алгоритм решения тригонометрических неравенств с помощью графика функции на конкретном примере.

1. 
   

Образцы карточек.

Карточка 1.

а) б)
№2.Решите неравенство

№3. Решите неравенство
графически.

Карточка2.
№1. Запишите все решения, соответствующие дуге, изображённой на рисунке.
а) б)
№2.Решите неравенство
с помощью единичной окружности.

№3. Решите неравенство
графически.

1. 
   Обобщение решения неравенств, сводящихся к простейшим.

Следующий тип неравенств, о которых пойдёт речь- это неравенства, сводящиеся к простейшим разными способами.
1. Актуализация знаний

1. Какими способами можно привести неравенство к простейшему виду? Приведите примеры таких неравенств.

Вспомним суть данного метода в ходе выполнения задания.
Задание. Решить неравенство

Учитель следит за решением, пошагово демонстрирует его с помощью презентации.

Мы повторили первый способ сведения неравенств к простейшему виду. Как ещё можно привести неравенство к простейшему виду?
Ещё раз обратим внимание на решение неравенств с использованием основных тригонометрических формул.

Учитель обсуждает решение неравенства
с учениками, используя при этом презентацию.

* Вспомним, неравенства какого вида можно свести к простейшим введением вспомогательного угла?

* В чём состоит общий метод решения таких неравенств?
Задание. Решить неравенство
Учитель ведёт беседу с классом, на экране поэтапно появляется решение.

* Можно ли данное неравенство сразу решать введением вспомогательного угла?

* Можно ли каким-то образом преобразовать данное неравенство?

* Можно ли последнее неравенство решать введением вспомогательного угла?

* Что для этого нужно сделать?

* Какой вид имеет последнее неравенство?

* Ещё раз напомним решение данного типа неравенств.
* Решим данное неравенство.
2. Выполнение практических заданий.

(работа в группах)
Класс делится на 3-4 группы. Каждой группе даётся карточка заданий (на обороте указать фамилии участников группы). Группы выполняют задание, затем меняются решениями (I-II-III-IV-I) и проверяют работу друг друга (взаимоконтроль). Оценку заносят в рабочую карту с пометкой «в/к» (на обороте указать «Проверяли…»). Учитель затем перепроверяет решение и оценивание.

III. Обобщение методов решения неравенств с помощью замены переменной.
1. Актуализация знаний
1. В каком случае удобно использовать замену t=f(x), где f(x)- одна из тригонометрических функций?
2. В каком случае можно использовать замену t=sinx+cosx?

Повторим решение данного типа неравенств на конкретных примерах.

На доске записаны 3 неравенства. По желанию ученики поочерёдно выходят к доске и решают неравенства, комментируя каждый шаг. Остальные ученики записывают решения, стараясь делать самостоятельно.

cos2x-cos8x+cos6x Учитель ведёт беседу с классом, записывает решение на доске.

*Какие преобразования необходимо выполнить?

*Можно ли в данный момент ввести новую переменную?
*Как можно сделать аргументы одинаковыми?
*Далее введём новую переменную . В результате получим неравенство

Решите самостоятельно последнее неравенство и найдите значения переменной t, удовлетворяющие неравенству.

*Возвращаясь к замене, решим полученные простейшие тригонометрические неравенства и запишем ответ.

IV. Обобщение решения тригонометрических неравенств методом интервалов.
Перед учениками и на доске - алгоритм решения неравенств методом интервалов.

Повторение данного метода проводим в ходе решения неравенства

Выполнение практических заданий.

Каждый ученик получает карточку с одним неравенством. Карточки разного уровня сложности. Например, сильные ученики решают неравенство методом интервалов, средние и слабые-введением новой переменной.

Работу оценивает учитель, оценку заносит в рабочую карту ученика.

V. Обобщение решения систем тригонометрических неравенств.
Задание. Необходимо напомнить алгоритм решения систем тригонометрических неравенств.

Далее работаем следующим образом: каждому ученику, в соответствии с вариантом, даются 3-4 карточки, на которых необходимо решить указанную систему неравенств. Выполнив задание первой карточки, необходимо отнести её на проверку (проверяет учитель или консультант (сильный ученик)). Если система решена верно, то её оставляют у проверяющего, приступают к решению задания следующей карточки. Если неверно, то карточка возвращается для исправления ошибки. Время работы ограничено-10 мин, поэтому ученики стараются выполнять задания быстро и по возможности правильно. По истечении времени работы, подводится итог:

4 верно выполненных задания-оценка «5»,

3 верно выполненных задания-оценка «4»,

2 верно выполненных задания-оценка «3»,
менее 2 выполненных заданий-оценка «2».
Оценка заносится в рабочую карту ученика.

1. 
   Углубление знаний по теме

Заранее две группы учеников провели дополнительную исследовательскую работу. Первая группа изучала использование тригонометрических неравенств для нахождения области определения функций, вторая группа занималась решением неравенств смешанного типа. На специальном стенде ученики разместили решения различных заданий. Желающие могут ознакомиться. Далее ребята демонстрируют примеры решений неравенств указанных типов, используя подготовленные презентации.

1. 
   Систематизация знаний

по теме

«Решение тригонометрических неравенств и их систем».

В ходе занятия мы обобщили знания о видах тригонометрических неравенств и их систем, способах их решения.

Кратко материал нашего урока можно представить в виде таблицы (см. приложение), которая будет являться своеобразной памяткой о видах тригонометрических неравенств, их систем и способах их решения.

Используя таблицу, ещё раз быстро повторим материал темы «Решение тригонометрических неравенств и их систем».

5) Заключение.
В качестве домашнего задания предлагается индивидуальная контрольная работа, анализ выполнения которой покажет степень усвоения материала данной темы каждым учеником.

Модель урока на тему:

«Решение тригонометрических уравнений и неравенств»

в рамках реализации регионального компонента по математике

для учащихся 10 класса.

Помыкалова

Елена Викторовна

учитель математики

МОУ СОШ поселка Восход

Балашовского района

Саратовской области

Цель урока.

1. Обобщить теоретические знания по теме: «Решение тригонометрических уравнений и неравенств», повторить основные методы решения тригонометрических уравнений и неравенств.

2. Развивать качества мышления: гибкость, целенаправленность, рациональность. Организовать работу учащихся по указанной теме на уровне, соответствующем уровню уже сформированных знаний.

3. Воспитывать аккуратность записей, культуру речи, самостоятельность.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний, приобретенных при изучении данной темы.

Методы обучения: системное обобщение, тестовая проверка уровня знаний, решение обобщающих задач.

Формы организации урока: фронтальная, индивидуальная.

Оборудование: компьютер , мультимедийный проектор, бланки ответов, карточки с заданием, таблица формул корней тригонометрических уравнений.

Ход урока.

I . Начало урока

Учитель сообщает учащимся тему урока, цель, обращает внимание учащихся на раздаточный материал.

II . Контроль знаний учащихся

1) Устная работа (Задание проектируется на экран)

Вычислите:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;
е) .

2) Фронтальный опрос учащихся.

Какие уравнения называются тригонометрическими?

Какие виды тригонометрических уравнений вы знаете?

Какие уравнения называются простейшими тригонометрическими уравнениями?

Какие уравнения называются однородными?

Какие уравнения называются квадратными?

Какие уравнения называются неоднородными?

Какие способы решения тригонометрических уравнений вы знаете?

После ответа учащихся на экран проектируются некоторые способы решения тригонометрических уравнений.

Введение новой переменной:

№1 . 2sin²x – 5sinx + 2 = 0. №2. tg + 3ctg = 4.

Пусть sinx = t, |t|≤1, Пусть tg = z,

Имеем: 2 t ² – 5 t + 2 = 0. Имеем: z + = 4.

2. Разложение на множители :

2 sinx cos 5 x – cos 5 x = 0;

cos5x (2sinx – 1) = 0.

Имеем : cos5x = 0,

2sinx – 1 = 0; …

3. Однородные тригонометрические уравнения:

I степени II степени

a sinx + b cosx = 0, (a,b ≠ 0). a sin²x + b sinx cosx + c cos²x = 0.

Разделим на cosx ≠ 0. 1) если а ≠ 0, разделим на cos ² x ≠ 0

Имеем : a tgx + b = 0; … имеем : a tg²x + b tgx + c = 0.

2) если а = 0, то

имеем: b sinx cosx + c cos ² x =0;…

4. Неоднородные тригонометрические уравнения:

Уравнения вида: asinx + bcosx = c

4 sinx + 3 cosx = 5.

(Показать два способа)

1)применение универсальной подстановки:

sinx = (2 tg x /2) / (1 + tg 2 x /2);

cosx = (1– tg 2 x /2) / (1 + tg 2 x /2);

2)введение вспомогательного аргумента:

4 sinx + 3 cosx = 5

Разделим обе части на 5:

4/5 sinx + 3/5 cosx = 1

Т. к. (4/5) 2 +(3/5) 2 = 1, то пусть 4/5 = sinφ ; 3/5= cosφ , где 0< φ < π /2, тогда

sinφsinx + cosφcosx = 1

cos (x – φ ) = 1

x – φ = 2 πn , n € Z

x = 2 πn + φ , n € Z

φ = arccos 3/5, значит, x = arcos 3/5 +2 πn , n € Z

Ответ: arccos 3/5 + 2 πn , n € Z

3)Решение уравнений с применением формул понижения степени.

4)Применение формул двойного и тройного аргументов.

a) 2sin4xcos2x = 4cos 3 2x – 3cos2x

cos6x +cos2x = cos6x

III . Выполнение тестового задания

Учитель предлагает учащимся применить только что сформулированные теоретические факты к решению уравнений.

Задание проводится в виде теста. Учащимися заполняется бланк ответов, находящийся у них на партах.

Задание проектируется на экран.

Предложите способ решения данного тригонометрического уравнения:

1) приведение к квадратному;

2) приведение к однородному;

3) разложение на множители;

4) понижение степени;

5) преобразование суммы тригонометрических функций в произведение.

Бланк ответов.

Вариант I

Уравнение

Способы решения

3 sin²x + cos²x = 1 - sinx cosx

4 со s²x - cosx – 1 = 0

2 sin² x / 2 + cosx = 1

cosx + cos3x = 0

2 sinx cos5x – cos5x = 0

Вариант II

Уравнение

Способы решения

2sinxcosx – sinx = 0

3 cos²x - cos2x = 1

6 sin²x + 4 sinx cosx = 1

4 sin²x + 11sin²x = 3

sin3x = sin17x

Ответы:

Вариант I Вариант II

IV . Повторение формул для решения уравнений

Формулы корней тригонометрических уравнений.

Общие

Частные

Уравнение

Формула корней

Уравнение

Формула корней

1. sinx = a, |a|≤1

x = (-1) n arcsin a + πk,

k є Z

1. sinx = 0

x = πk, k є Z

2. cosx = a, |a|≤1

x = ±arccos a + 2πk,

k є Z

2. sinx = 1

x = + 2πk , k є Z

3. tg x = a

x = arctg a + πk, k є Z

3. sinx = –1

x = – + 2πk , k є Z

4. ctg x = a

x = arcctg a + πk,k є Z

4. cosx = 0

x = + πk , k є Z

5. cosx = 1

x = 2πk , k є Z

6. cosx = –1

x = π + 2πk , k є Z

Устная работа по решению простейших тригонометрических уравнений

Учитель предлагает учащимся применить только что сформулированные теоретические факты к решению уравнений. На экран проектируется тренажёр для устной работы по теме: «Тригонометрические уравнения»

Решить уравнения.

sin x = 0

cos x = 1

tg x = 0

ctg x = 1

sin x = - 1 / 2

sin x = 1

cos x = 1 / 2

sin x = - √3 / 2

cos x = √2 / 2

sin x = √2 / 2

cos x = √3 / 2

tg x = √3

sin x = 1 / 2

sin x = -1

cos x = - 1 / 2

sin x = √3 / 2

tg x = -√3

ctg x = √3 / 3

tg x = - √3 / 3

ctg x = -√3

cos x – 1 =0

2 sin x – 1 =0

2ctg x + √3 = 0

V . Решение примеров.

Карточки с заданиями раздаются на каждую парту, одна – на учительском столе для учеников, выходящих к доске.

№1. Найдите среднее арифметическое всех корней уравнения , удовлетворяющие условию ;

Решение.

Найдем среднее арифметическое всех корней заданного уравнения из промежутка .

.

Ответ: а) .

№2 . Решите неравенство .

Решение.

,

,

.

Ответ:

№3. Решите уравнение .

(Совместно определить метод решения задачи )

Решение.

Оценим правую и левую части последнего равенства.

Следовательно, равенство выполняется тогда и только тогда, когда выполняется система

Ответ: 0,5

VI . Самостоятельная работа

Учитель выдает задания для самостоятельной работы. Карточки подготовлены по уровням сложности.

Более подготовленным учащимся можно дать карточки с задачами повышенного уровня сложности.

Учащимся 2-й группы учитель выдал карточки с заданиями базового уровня сложности.

Для учащихся 3-й группы учителем составлены карточки с заданиями базового уровня сложности, но это, как правило, учащиеся со слабой математической подготовкой, они могут выполнять задания под контролем учителя.

Вместе с заданиями учащиеся получают бланки для выполнения заданий.

1 группа

Вариант №1 (1)

1. Решите уравнение

2. Решите уравнение .

Вариант №2 (1)

1. Решите уравнение .

2. Решить уравнение .

2 группа

Вариант №1 (2)

1. Решите уравнение .

2. Решите уравнение .