Тело, которое соскальзывает вниз по наклонной плоскости . В этом случае на него действуют следующие силы:

Сила тяжести mg, направленная вертикально вниз;

Сила реакции опоры N, направленная перпендикулярно плоскости;

Сила трения скольжения Fтр, направлена противоположно скорости (вверх вдоль наклонной плоскости при соскальзывании тела).

Введем наклонную систему координат, ось OX которой направлена вдоль плоскости вниз. Это удобно, потому что в этом случае придется раскладывать на компоненты только один вектор - вектор силы тяжести mg, а вектора силы трения Fтр и силы реакции опоры N уже направлены вдоль осей. При таком разложении x-компонента силы тяжести равна mg sin(α) и соответствует «тянущей силе», ответственной за ускоренное движение вниз, а y-компонента - mg cos(α) = N уравновешивает силу реакции опоры, поскольку вдоль оси OY движение тела отсутствует.

Сила трения скольжения Fтр = µN пропорциональна силе реакции опоры. Это позволяет получить следующее выражение для силы трения: Fтр = µmg cos(α). Эта сила противонаправлена «тянущей» компоненте силы тяжести. Поэтому для тела, соскальзывающего вниз, получаем выражения суммарной равнодействующей силы и ускорения:

Fx = mg(sin(α) – µ cos(α));

ax = g(sin(α) – µ cos(α)).

ускорение:

скорость равна

v=ax*t=t*g(sin(α) – µ cos(α))

через t=0.2 с

скорость равна

v=0.2*9.8(sin(45)-0.4*cos(45))=0.83 м/с

Силу, с которой тело притягивается к Земле под действием поля тяготения Земли, называют силой тяжести. По закону всемирного тяготения на поверхности Земли (или вблизи этой поверхности) на тело массой m действует сила тяжести

Fт=GMm/R2 (2.28)

где М - масса Земли; R - радиус Земли.

Если на тело действует только сила тяжести, а все другие силы взаимно уравновешены, тело совершает свободное падение. Согласно второму закону Ньютона и формуле (2,28) модуль ускорения свободного падения g находят по формуле

g=Fт/m=GM/R2. (2.29)

Из формулы (2.29) следует, что ускорение свободного падения не зависит от массы m падающего тела, т.е. для всех тел в данном месте Земли оно одинаково. Из формулы (2.29) следует, что Fт = mg. В векторном виде

В § 5 было отмечено, что поскольку Земля не шар, а эллипсоид вращения, ее полярный радиус меньше экваториального. Из формулы (2.28) видно, что по этой причине сила тяжести и вызываемое ею ускорение свободного падения на полюсе больше, чем на экваторе.

Сила тяжести действует на все тела, находящиеся в поле тяготения Земли, однако не все тела падают на Землю. Это объясняется тем, что движению многих тел препятствуют другие тела, например опоры, нити подвеса и т. п. Тела, ограничивающие движение других тел, называют связями. Под действием силы тяжести связи деформируются и сила реакции деформированной связи по третьему закону Ньютона уравновешивает силу тяжести.

В § 5 отмечалось также, что на ускорение свободного падения влияет вращение Земли. Это влияние объясняется так. Системы отсчета, связанные с поверхностью Земли (кроме двух, связанных с полюсами Земли), не являются, строго говоря, инерциальными системами отсчета - Земля вращается вокруг своей оси, а вместе с ней движутся по окружностям с центростремительным ускорением и такие системы отсчета. Эта неинерциальность систем отсчета проявляется, в частности, в том, что значение ускорения свободного падения оказывается различным в разных местах Земли и зависит от географической широты того места, где находится связанная с Землей система отсчета, относительно которой определяется ускорение свободного падения.

Измерения, проведенные на разных широтах, показали, что числовые значения ускорения свободного падения мало отличаются друг от друга. Поэтому при не очень точных расчетах можно пренебречь неинерциальностью систем отсчета, связанных с поверхностью Земли, а также отличием формы Земли от сферической, и считать, что ускорение свободного падения в любом месте Земли одинаково и равно 9,8 м/с2.

Из закона всемирного тяготения следует, что сила тяжести и вызываемое ею ускорение свободного падения уменьшаются при увеличении расстояния от Земли. На высоте h от поверхности Земли модуль ускорения свободного падения определяют по формуле

Установлено, что на высоте 300 км над поверхностью Земли ускорение свободного падения меньше, чем у поверхности Земли, на 1 м/с2.

Следовательно, вблизи Земли (до высот нескольких километров) сила тяжести практически не изменяется, а потому свободное падение тел вблизи Земли является движением равноускоренным.

Вес тела. Невесомость и перегрузки

Силу, в которой вследствие притяжения к Земле тело действует на свою опору или подвес, называют весом тела. В отличие от силы тяжести, являющейся гравитационной силой, приложенной к телу, вес - это упругая сила, приложенная к опоре или подвесу (т. е. к связи).

Наблюдения показывают, что вес тела Р, определяемый на пружинных весах, равен действующей на тело силе тяжести Fт только в том случае, если весы с телом относительно Земли покоятся или движутся равномерно и прямолинейно; В этом случае

Если же тело движется ускоренно, то его вес зависит от значения этого ускорения и от его направления относительно направления ускорения свободного падения.

Когда тело подвешено на пружинных весах, на него действуют две силы: сила тяжести Fт=mg и сила упругости Fyп пружины. Если при этом тело движется по вертикали вверх или вниз относительно направления ускорения свободного падения, значит векторная сумма сил Fт и Fуп дает равнодействующую, вызывающую ускорение тела, т. е.

Fт + Fуп=mа.

Согласно приведенному выше определению понятия "вес", можно написать, что Р=-Fyп. с учетом того, что Fт=mg, следует, что mg-mа=-Fyп. Следовательно, Р=m(g-а).

Силы Fт и Fуп направлены по одной вертикальной прямой. Поэтому если ускорение тела а направлено вниз (т.е. совпадает по направлению с ускорением свободного падения g), то по модулю

Если же ускорение тела направлено вверх (т. е. противоположно направлению ускорения свободного падения), то

Р = m = m(g+а).

Следовательно, вес тела, ускорение которого совпадает по направлению с ускорением свободного падения, меньше веса покоящегося тела, а вес тела, ускорение которого противоположно направлению ускорения свободного падения, больше веса покоящегося тела. Увеличение веса тела, вызванное его ускоренным движением, называют перегрузкой.

При свободном падении a=g. следует, что в таком случае Р=0, т. е. вес отсутствует. Следовательно, если тела движутся только под действием силы тяжести (т. е. свободно падают), они находятся в состоянии невесомости. Характерным признаком этого состояния является отсутствие у свободно падающих тел деформаций и внутренних напряжений, которые вызываются у покоящихся тел силой тяжести. Причина невесомости тел заключается в том, что сила тяжести сообщает свободно падающему телу и его опоре (или подвесу) одинаковые ускорения.

Несмотря на другие условия движения принципиально решение задачи 8 ничем не отличается от решения задачи 7. Отличие состоит лишь в том, что в задаче 8 действующие на тело силы не лежат вдоль одной прямой, поэтому проекции необходимо взять на две оси.

Задача 8. Лошадь везет сани массой 230 кг, действуя на них с силой 250 Н. Какое расстояние пройдут сани, пока достигнут скорости 5,5 м/с, двигаясь из состояния покоя. Коэффициент трения скольжения саней о снег равен 0,1, а оглобли расположены под углом 20° к горизонту.

На сани действуют четыре силы: сила тяги (натяжения), направленная под углом 20° к горизонту; сила тяжести, направленная вертикально вниз (всегда); сила реакции опоры, направленная перпендикулярно опоре от нее, т. е. вертикально вверх (в данной задаче); сила трения скольжения, направленная против движения. Поскольку сани будут двигаться поступательно, все приложенные силы можно параллельно перенести в одну точку – в центр масс движущегося тела (саней). Через эту же точку проведем и оси координат (рис. 8).

На основании второго закона Ньютона запишем уравнение движения :

Направим ось Ox горизонтально вдоль направления движения (см. рис. 8), а ось Oy – вертикально вверх. Возьмем проекции векторов, входящих в уравнение, на координатные оси, добавим выражение для силы трения скольжения и получим систему уравнений:

Решим систему уравнений. (Схема решения системы уравнений, подобных системе, обычно одинакова: из второго уравнения выражают силу реакции опоры и подставляют ее в третье уравнение, а затем выражение для силы трения подставляют в первое уравнение.) В результате получим:

Перегруппируем слагаемые в формуле и разделим ее правую и левую части на массу:

Поскольку ускорение не зависит от времени, выберем формулу кинематики равноускоренного движения, содержащую скорость, ускорение и перемещение:

Учитывая, что начальная скорость равна нулю, а скалярное произведение одинаково направленных векторов равно произведению их модулей, подставим ускорение и выразим модуль перемещения:

;

Полученное значение и есть ответ задачи, поскольку при прямолинейном движении пройденный путь и модуль перемещения совпадают.

Ответ : сани пройдут 195 м.

Движение по наклонной плоскости

Описание движения небольших тел по наклонной плоскости принципиально не отличается от описания движения тел по вертикали и по горизонтали, поэтому при решении задач на этот вид движения, как и в задачах 7, 8, также необходимо записать уравнение движения и взять проекции векторов на координатные оси. Разбирая решение задачи 9, необходимо обратить внимание на схожесть подхода к описанию различных видов движения и на нюансы, которые отличают решение этого типа задач от решения задач, рассмотренных выше.

Задача 9. Лыжник соскальзывает с длинной ровной заснеженной горки, угол наклона к горизонту которой составляет 30°, а длина равна 140 м. Сколько времени будет длиться спуск, если коэффициент трения скольжения лыж о рыхлый снег равен 0,21?

Дано:

Решение.

Движение лыжника по нак-лонной плоскости происходит под действием трех сил: силы тяжести, направленной вертикально вниз; силы реакции опоры, направленной перпендикулярно к опоре; силы трения скольжения, направленной против движения тела. Пренебрегая размерами лыжника по сравнению с длиной горки, на основании второго закона Ньютона запишем уравнение движения лыжника:

Выберем ось Ox вниз вдоль наклонной плоскости (рис. 9), а ось Oy – перпендикулярно наклонной плоскости вверх. Возьмем проекции векторов уравнения на выбранные координатные оси с учетом того, что ускорение направлено вдоль наклонной плоскости вниз, и добавим к ним выражение, определяющее силу трения скольжения. Получим систему уравнений:

Решим систему уравнений относительно ускорения. Для этого из второго уравнения системы выразим силу реакции опоры и подставим полученную формулу в третье уравнение, а выражение для силы трения – в первое. После сокращения массы имеем формулу:

Ускорение не зависит от времени, значит, можно воспользоваться формулой кинематики равноускоренного движения, содержащей перемещение, ускорение и время:

С учетом того, что начальная скорость лыжника равна нулю, а модуль перемещения равен длине горки, выразим из формулы время и, подставляя в полученную формулу ускорение, получим:

;

Ответ : время спуска с горы 9,5 с.

Движение. Теплота Китайгородский Александр Исаакович

Наклонная плоскость

Крутой подъем труднее преодолеть, чем отлогий. Легче вкатить тело на высоту по наклонной плоскости, чем поднимать его по вертикали. Почему так и насколько легче? Закон сложения сил позволяет нам разобраться в этих вопросах.

На рис. 12 показана тележка на колесах, которая натяжением веревки удерживается на наклонной плоскости. Кроме тяги на тележку действуют еще две силы – вес и сила реакции опоры, действующая всегда по нормали к поверхности, вне зависимости от того, горизонтальная поверхность опоры или наклонная.

Как уже говорилось, если тело давит на опору, то опора противодействует давлению или, как говорят, создает силу реакции.

Нас интересует, в какой степени тащить тележку вверх легче по наклонной плоскости, чем поднимать вертикально.

Разложим силы так, чтобы одна была направлена вдоль, а другая – перпендикулярно к поверхности, по которой движется тело. Для того чтобы тело покоилось на наклонной плоскости, сила натяжения веревки должна уравновешивать лишь продольную составляющую. Что же касается второй составляющей, то она уравновешивается реакцией опоры.

Найти интересующую нас силу натяжения каната T можно или геометрическим построением или при помощи тригонометрии. Геометрическое построение состоит в проведении из конца вектора веса P перпендикуляра к плоскости.

На рисунке можно отыскать два подобных треугольника. Отношение длины наклонной плоскости l к высоте h равно отношению соответствующих сторон в треугольнике сил. Итак,

Чем более отлога наклонная плоскость (h /l невелико), тем, разумеется, легче тащить тело вверх.

А теперь для тех, кто знает тригонометрию: так как угол между поперечной составляющей веса и вектором веса равен углу? наклонной плоскости (это углы со взаимно перпендикулярными сторонами), то

Итак, вкатить тележку по наклонной плоскости с углом? в sin ? раз легче, чем поднять ее вертикально.

Полезно помнить значения тригонометрических функций для углов 30, 45 и 60°. Зная эти цифры для синуса (sin 30° = 1/2; sin 45° = sqrt(2)/2;*5 sin 60° = sqrt(3)/2), мы получим хорошее представление о выигрыше в силе при движении по наклонной плоскости.

Из формул видно, что при угле наклонной плоскости в 30° наши усилия составят половину веса: T = P ·(1/2). При углах 45° и 60° придется тянуть канат с силами, равными примерно 0,7 и 0,9 от веса тележки. Как видим, такие крутые наклонные плоскости мало облегчают дело.

На поверхности Земли сила тяжести (гравитация ) постоянна и равна произведению массы падающего тела на ускорение свободного падения: F g = mg

Следует заметить, что ускорение свободного падения величина постоянная: g=9,8 м/с 2 , и направлена к центру Земли. Исходя из этого можно сказать, что тела с разной массой будут падать на Землю одинаково быстро. Как же так? Если бросить с одинаковой высоты кусочек ваты и кирпич, то последний проделает свой путь до земли быстрее. Не забывайте о сопротивлении воздуха! Для ваты оно будет существенным, поскольку ее плотность очень мала. В безвоздушном пространстве кирпич и вата упадут одновременно.

Шар движется по наклонной плоскости длиной 10 метров, угол наклона плоскости 30°. Какова будет скорость шара в конце плоскости?

На шар действует только сила тяжести F g , направленная вниз перпендикулярно к основанию плоскости. Под действием этой силы (составляющей, направленной вдоль поверхности плоскости) шар будет двигаться. Чему будет равна составляющая силы тяжести, действующей вдоль наклонной плоскости?

Для определения составляющей необходимо знать угол между вектором силы F g и наклонной плоскостью.

Определить угол довольно просто:

сумма углов любого треугольника равна 180°;
угол между вектором силы F g и основанием наклонной плоскости равен 90°;
угол между наклонной плоскостью и ее основанием равен α

Исходя из вышесказанного, искомый угол будет равен: 180° - 90° - α = 90° - α

Из тригонометрии:

F g накл = F g ·cos(90°-α)

Sinα = cos(90°-α)

F g накл = F g ·sinα

Это действительно так:

при α=90° (вертикальная плоскость) F g накл = F g
при α=0° (горизонтальная плоскость) F g накл = 0

Определим ускорение шара из известной формулы:

F g ·sinα = m·a

A = F g ·sinα/m

A = m·g·sinα/m = g·sinα

Ускорение шара вдоль наклонной плоскости не зависит от массы шара, а только от угла наклона плоскости.

Определяем скорость шара в конце плоскости:

V 1 2 - V 0 2 = 2·a·s

(V 0 =0) - шар начинает движение с места

V 1 2 = √2·a·s

V = 2·g·sinα·S = √2·9,8·0,5·10 = √98 = 10 м/с

Обратите внимание на формулу! Скорость тела в конце наклонной плоскости будет зависеть только от угла наклона плоскости и ее длины.

В нашем случае скорость 10 м/с в конце плоскости будет иметь и бильярдный шар, и легковой автомобиль, и самосвал, и школьник на санках. Конечно же, трение мы не учитываем.

В нашем случае F н = m·g , т.к. поверхность горизонтальна. Но, нормальная сила по величине не всегда совпадает с силой тяжести.

Нормальная сила - сила взаимодействия поверхностей соприкасающихся тел, чем она больше - тем сильнее трение.

Нормальная сила и сила трения пропорциональны друг другу:

F тр = μF н

0 < μ < 1 - коэффициент трения, который характеризует шероховатость поверхностей.

При μ=0 трение отсутствует (идеализированный случай)

При μ=1 максимальная сила трения, равна нормальной силе.

Сила трения не зависит от площади соприкосновения двух поверхностей (если их массы не изменяются).

Обратите внимание: уравнение F тр = μF н не является соотношением между векторами, поскольку они направлены в разные стороны: нормальная сила перпендикулярна поверхности, а сила трения - параллельна.

1. Разновидности трения

Трение бывает двух видов: статическое и кинетическое .

Статическое трение (трение покоя ) действует между соприкасающимися телами, находящимися в покое друг относительно друга. Статическое трение проявляется на микроскопическом уровне.

Кинетическое трение (трение скольжения ) действует между соприкасающимися и движущимися друг относительно друга телами. Кинетическое трение проявляется на макроскопическом уровне.

Статическое трение больше кинетического для одних и тех же тел, или коэффициент трения покоя больше коэффициент трения скольжения.

Наверняка вам это известно из личного опыта: шкаф очень трудно сдвинуть с места, но поддерживать движение шкафа гораздо легче. Это объясняется тем, что при движении поверхности тел "не успевают" перейти на соприкосновения на микроскопическом уровне.

Задача №1: какая сила потребуется для поднятия шара массой 1 кг по наклонной плоскости, расположенной под углом α=30° к горизонту. Коэффициент трения μ = 0,1

Вычисляем составляющую силы тяжести. Для начала нам надо узнать угол между наклонной плоскостью и вектором силы тяжести. Подобную процедуру мы уже делали, рассматривая гравитацию. Но, повторение - мать учения:)

Сила тяжести направлена вертикально вниз. Сумма углов любого треугольника равна 180°. Рассмотрим треугольник, образованный тремя силами: вектором силы тяжести; наклонной плоскостью; основанием плоскости (на рисунке он выделен красным цветом).

Угол между вектором силы тяжести и основанием плоскость равен 90°.
Угол между наклонной плоскостью и ее основанием равен α

Поэтому, оставшийся угол - угол между наклонной плоскостью и вектором силы тяжести:

180° - 90° - α = 90° - α

Составляющие силы тяжести вдоль наклонной плоскости:

F g накл = F g cos(90° - α) = mgsinα

Необходимая сила для поднятия шара:

F = F g накл + F трения = mgsinα + F трения

Необходимо определить силу трения F тр . С учетом коэффициента трения покоя:

F трения = μF норм

Вычисляем нормальную силу F норм , которая равна составляющей силы тяжести, перпендикулярно направленной к наклонной плоскости. Мы уже знаем, что угол между вектором силы тяжести и наклонной плоскостью равен 90° - α.

F норм = mgsin(90° - α) = mgcosα
F = mgsinα + μmgcosα

F = 1·9,8·sin30° + 0,1·1·9,8·cos30° = 4,9 + 0,85 = 5,75 Н

Нам потребуется к шару приложить силу в 5,75 Н для того, чтобы закатить его на вершину наклонной плоскости.

Задача №2: определить как далеко прокатится шар массой m = 1 кг по горизонтальной плоскости, скатившись по наклонной плоскости длиной 10 метров при коэффициенте трения скольжения μ = 0,05

Силы, действующие на скатывающийся шар, приведены на рисунке.

Составляющая силы тяжести вдоль наклонной плоскости:

F g cos(90° - α) = mgsinα

Нормальная сила:

F н = mgsin(90° - α) = mgcos(90° - α)

Сила трения скольжения:

F трения = μF н = μmgsin(90° - α) = μmgcosα

Результирующая сила:

F = F g - F трения = mgsinα - μmgcosα

F = 1·9,8·sin30° - 0,05·1·9,8·0,87 = 4,5 Н

F = ma; a = F/m = 4,5/1 = 4,5 м/с 2

Определяем скорость шара в конце наклонной плоскости:

V 2 = 2as; V = &38730;2as = &38730;2·4,5·10 = 9,5 м/с

Шар заканчивает движение по наклонной плоскости и начинает движение по горизонтальной прямой со скоростью 9,5 м/с. Теперь в горизонтальном направлении на шар действует только сила трения, а составляющая силы тяжести равна нулю.

Суммарная сила:

F = μF н = μF g = μmg = 0,05·1·9,8 = -0,49 Н

Знак минус означает, что сила направлена в противоположную сторону от движения. Определяем ускорение замедления шара:

a = F/m = -0,49/1 = -0,49 м/с 2

Тормозной путь шара:

V 1 2 - V 0 2 = 2as; s = (V 1 2 - V 0 2)/2a

Поскольку мы определяем путь шара до полной остановки, то V 1 =0 :

s = (-V 0 2)/2a = (-9,5 2)/2·(-0,49) = 92 м

Наш шарик прокатился по прямой целых 92 метра!