Задача по физике - 3470

2017-05-21
Материальная точка начинает двигаться по окружности радиуса $r = 10 см$ с постоянным касательным ускорением $a_{ \tau} = 0,4 см/с^{2}$. Через какой промежуток времени вектор ускорения а образует с вектором скорости $\vec{v}$ угол $\beta$, равный: а) $60^{ \circ}$; б) $80^{ \circ}$ (рис.)? Какой путь пройдет за это время движущаяся точка? На какой угол повернется радиус-вектор, проведенный из центра окружности к движущейся точке, если в начальный момент времени он направлен вертикально вверх? Движение происходит по часовой стрелке.

Решение:

Материальная точка движется по окружности заданного радиуса. Поскольку движение ускоренное, скорость $v$ движущейся точки, а следовательно, и нормальное ускорение $a_{n} = v^{2}/r$ непрерывно возрастают со временем. Касательное ускорение, по условию задачи, постоянно. Следовательно, вектор полного ускорения а со временем изменяется как по модулю, так и по направлению.

Угол $\beta$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{v}$ зависит от соотношения между нормальным $a_{n}$ и касательным $a_{ \tau}$ ускорениями:

$tg \beta = a_{n} / a_{ \tau} = v^{2}/(ra_{ \tau})$. (1)

Постоянство касательного ускорения позволяет найти закон изменения со временем пути $s$, пройденного точкой, или угла поворота $\phi$ радиус-вектора (см. рис.).

Касательное ускорение

$a_{ \tau} = dv/dt = const$.

Следовательно, мгновенная скорость движущейся точки (при $v_{0} = 0$)

$v = a_{ \tau} t$.

Подставляя это выражение в формулу (1), находим

$tg \beta = (a_{ \tau} t)^{2} / (a_{ \tau} t) = a_{ \tau}t^{2}/r$.

Тогда время и путь соответственно равны:

$t = \sqrt{ \frac{r tg \beta}{ a_{ \tau}}}$, (2)
$s = \int_{0}^{t} vdt = \int_{0}^{t} a_{ \tau} t dt = \frac{a_{ \tau}t^{2}}{2}$. (3)

Угол поворота $\phi = s/r$ изменяется со временем также по квадратичному закону:

$\phi = a_{ \tau} t^{2} /(2r)$. (4)

а) При $\beta_{1} = 60^{ \circ}$ ($tg \beta_{1} = 1,73$), согласно выражениям (2) - (4), $t_{1} = 6,6 с; s_{1} = 8,7 см; \phi_{1} = 0,87 рад$.
б) При $\beta_{2} = 80^{ \circ}$ ($tg \beta_{2} = 5,7$), согласно выражениям (2) - (4), $t_{2} = 12 с; s_{2} = 28 см; \phi_{2} = 2,8 рад$.

Положения движущейся точки для найденных углов $\phi_{1}$ и $\phi_{2}$ и векторы $\vec{v}$ и $\vec{a}$ в эти моменты времени показаны на рис.

1. Достаточно часто можно наблюдать такое движение тела, при котором его траекторией является окружность. По окружности движется, например, точка обода колеса при его вращении, точки вращающихся деталей станков, конец стрелки часов, ребенок, сидящий на какой‑либо фигуре вращающихся каруселей.

При движении по окружности может изменяться не только направление скорости тела, но и ее модуль. Возможно движение, при котором изменяется только направление скорости, а ее модуль остается постоянным. Такое движение называют равномерным движением тела по окружности . Введем характеристики этого движения.

2. Движение тела по окружности повторяется через определенные промежутки времени, равные периоду обращения.

Периодом обращения называют время, в течение которого тело совершает один полный оборот.

Период обращения обозначают буквой T . За единицу периода обращения в СИ принята секунда (1 с ).

Если за время t тело совершило N полных оборотов, то период обращения равен:

T = .

Частотой обращения называют число полных оборотов тела за одну секунду.

Частоту обращения обозначают буквой n .

n = .

За единицу частоты обращения в СИ принята секунда в минус первой степени (1 с– 1 ).

Частота и период обращения связаны следующим образом:

n = .

3. Рассмотрим величину, характеризующую положение тела на окружности. Пусть в начальный момент времени тело находилось в точке A , а за время t оно переместилось в точку B (рис. 38).

Проведем радиус‑вектор из центра окружности в точку A и радиус‑вектор из центра окружности в точку B . При движении тела по окружности радиус‑вектор повернется за время t на угол j. Зная угол поворота радиуса‑вектора, можно определить положение тела на окружности.

Единица угла поворота радиуса‑вектора в СИ - радиан (1 рад ).

При одном и том же угле поворота радиуса‑вектора точки A и B , находящиеся на разных расстояниях от его центра равномерно вращающегося диска (рис. 39), пройдут разные пути.

4. При движении тела по окружности мгновенную скорость называют линейной скоростью .

Линейная скорость тела, равномерно движущегося по окружности, оставаясь постоянной по модулю, меняется по направлению и в любой точке направлена по касательной к траектории.

Модуль линейной скорости можно определить по формуле:

v = .

Пусть тело, двигаясь по окружности радиусом R , совершило один полный оборот, Тогда пройденный им путь равен длине окружности: l = 2pR , а время равно периоду обращения T . Следовательно, линейная скорость тела:

v = .

Поскольку T = , то можно записать

v = 2pRn .

Быстроту обращения тела характеризуют угловой скоростью .

Угловой скоростью называют физическую величину, равную отношению угла поворота радиуса-вектора к промежутку времени, за которое этот поворот произошел.

Угловая скорость обозначается буквой w.

w = .

За единицу угловой скорости в СИ принимают радиан в секунду (1 рад/с ):

[w] == 1 рад/с.

За время, равное периоду обращения T , тело совершает полный оборот и угол поворота радиуса-вектора j = 2p. Поэтому угловая скорость тела:

w =или w = 2pn .

Линейная и угловая скорости связаны друг с другом. Запишем отношение линейной скорости к угловой:

== R .

Таким образом,

v = wR .

При одинаковой угловой скорости точек A и B , расположенных на равномерно вращающемся диске (см. рис. 39), линейная скорость точки A больше линейной скорости точки B : v A > v B .

5. При равномерном движении тела по окружности модуль его линейной скорости остается постоянным, а направление скорости меняется. Поскольку скорость - величина векторная, то изменение направления скорости означает, что тело движется по окружности с ускорением.

Выясним, как направлено и чему равно это ускорение.

Напомним, что ускорение тела определяется по формуле:

a == ,

где Dv - вектор изменения скорости тела.

Направление вектора ускорения a совпадает с направлением вектора Dv .

Пусть тело, движущееся по окружности радиусом R , за ма-лый промежуток времени t переместилось из точки A в точку B (рис. 40). Чтобы найти изменение скорости тела Dv , в точку A перенесем параллельно самому себе вектор v и вычтем из него v 0 , что равноценно сложению вектора v с вектором –v 0 . Вектор, направленный от v 0 к v , и есть вектор Dv .

Рассмотрим треугольники AOB и ACD . Оба они равнобедренные (AO = OB и AC = AD, поскольку v 0 = v ) и имеют равные углы: _AOB = _CAD (как углы со взаимно перпендикулярными сторонами: AO B v 0 , OB B v ). Следовательно, эти треугольники подобны и можно записать отношение соответствующих сторон:= .

Поскольку точки A и B расположены близко друг к другу, то хорда AB мала и ее можно заменить дугой. Длина дуги- путь, пройденный телом за время t с постоянной скоростью v : AB = vt .

Кроме того, AO = R , DC = Dv , AD = v . Следовательно,

= ;= ;= a .

Откуда ускорение тела

a = .

Из рисунка 40 видно, что чем меньше хорда AB , тем точнее направление вектора Dv совпадает с радиусом окружности. Следовательно, вектор изменения скорости Dv и вектор ускорения a направлены по радиусу к центру окружности. Поэтому ускорение при равномерном движении тела по окружности называют центростремительным .

Таким образом,

при равномерном движении тела по окружности его ускорение постоянно по модулю и в любой точке направлено по радиусу окружности к ее центру.

Учитывая, что v = wR , можно записать другую формулу центростремительного ускорения:

a = w 2 R .

6. Пример решения задачи

Частота обращения карусели 0,05 с– 1 . Человек, вращающийся на карусели, находится на расстоянии 4 м от оси вращения. Определите центростремительное ускорение человека, период обращения и угловую скорость карусели.

Дано :	Решение
n = 0,05 с– 1 R = 4 м	Центростремительное ускорение равно: a = w2R =(2pn )2R =4p2n 2R . Период обращения: T = . Угловая скорость карусели: w = 2pn .
a ? T ?

a = 4 (3,14) 2 (0,05с– 1) 2 4 м 0,4 м/с 2 ;

T == 20 с;

w = 2 3,14 0,05 с– 1 0,3 рад/с.

Ответ: a 0,4 м/с 2 ; T = 20 с; w 0,3 рад/с.

Вопросы для самопроверки

1. Какое движение называют равномерным движением по окружности?

2. Что называют периодом обращения?

3. Что называют частотой обращения? Как связаны между собой период и частота обращения?

4. Что называют линейной скоростью? Как она направлена?

5. Что называют угловой скоростью? Что является единицей угловой скорости?

6. Как связаны угловая и линейная скорости движения тела?

7. Как направлено центростремительное ускорение? По какой формуле оно рассчитывается?

Задание 9

1. Чему равна линейная скорость точки обода колеса, если радиус колеса 30 см и один оборот она совершает за 2 с? Чему равна угловая скорость колеса?

2. Скорость автомобиля 72 км/ч. Каковы угловая скорость, частота и период обращения колеса автомобиля, если диаметр колеса70 см? Сколько оборотов совершит колесо за 10 мин?

3. Чему равен путь, пройденный концом минутной стрелки будильника за 10 мин, если ее длина 2,4 см?

4. Каково центростремительное ускорение точки обода колеса автомобиля, если диаметр колеса 70 см? Скорость автомобиля 54 км/ч.

5. Точка обода колеса велосипеда совершает один оборот за 2 с. Радиус колеса 35 см. Чему равно центростремительное ускорение точки обода колеса?

Равномерное движение по окружности – это простейший пример . Например, по окружности движется конец стрелки часов по циферблату. Скорость движения тела по окружности носит название линейная скорость .

При равномерном движении тела по окружности модуль скорости тела с течением времени не изменяется, то есть v = const, а изменяется только направление вектора скорости в этом случае отсутствует (a r = 0), а изменение вектора скорости по направлению характеризуется величиной, которая называется центростремительное ускорение () a n или а ЦС. В каждой точке вектор центростремительного ускорения направлен к центру окружности по радиусу.

Модуль центростремительного ускорения равен

a ЦС =v 2 / R

Где v – линейная скорость, R – радиус окружности

Рис. 1.22. Движение тела по окружности.

Когда описывается движение тела по окружности, используется угол поворота радиуса – угол φ, на который за время t поворачивается радиус, проведённый из центра окружности до точки, в которой в этот момент находится движущееся тело. Угол поворота измеряется в радианах. равен углу между двумя радиусами окружности, длина дуги между которыми равна радиусу окружности (рис. 1.23). То есть если l = R, то

1 радиан= l / R

Так как длина окружности равна

l = 2πR

360 о = 2πR / R = 2π рад.

Следовательно

1 рад. = 57,2958 о = 57 о 18’

Угловая скорость равномерного движения тела по окружности – это величина ω, равная отношению угла поворота радиуса φ к промежутку времени, в течение которого совершён этот поворот:

ω = φ / t

Единица измерения угловой скорости – радиан в секунду [рад/с]. Модуль линейной скорости определяется отношением длины пройденного пути l к промежутку времени t:

v= l / t

Линейная скорость при равномерном движении по окружности направлена по касательной в данной точке окружности. При движении точки длина l дуги окружности, пройденной точкой, связана с углом поворота φ выражением

l = Rφ

где R – радиус окружности.

Тогда в случае равномерного движения точки линейная и угловая скорости связаны соотношением:

v = l / t = Rφ / t = Rω или v = Rω

Рис. 1.23. Радиан.

Период обращения – это промежуток времени Т, в течение которого тело (точка) совершает один оборот по окружности.Частота обращения – это величина, обратная периоду обращения – число оборотов в единицу времени (в секунду). Частота обращения обозначается буквой n.

n = 1 / T

За один период угол поворота φ точки равен 2π рад, поэтому 2π = ωT, откуда

T = 2π / ω

То есть угловая скорость равна

ω = 2π / T = 2πn

Центростремительное ускорение можно выразить через период Т и частоту обращения n:

a ЦС = (4π 2 R) / T 2 = 4π 2 Rn 2

• Характерные особенности этого движения содержатся в его названии: равномерное - значит с постоянной по модулю скоростью (и = const), no окружности - значит траектория - окружность.

Равномерное движение по окружности

До сих пор мы изучали движения с постоянным ускорением. Однако чаще встречаются случаи, когда ускорение изменяется.

Вначале мы рассмотрим простейшее движение с переменным ускорением, когда модуль ускорения не меняется. Таким движением, в частности, является равномерное движение точки по окружности: за любые равные промежутки времени точка проходит дуги одинаковой длины. При этом скорость тела (точки) не изменяется по модулю, а меняется лишь по направлению.

Среднее ускорение

Пусть точка в момент времени t занимает на окружности положение А, а через малый интервал времени Δt - положение А 1 (рис. 1.82, а). Обозначим скорость точки в этих положениях через и 1 . При равномерном движении v 1 = v.

Рис. 1.82

Для нахождения мгновенного ускорения сначала найдем среднее ускорение точки. Изменение скорости за время Δt равно Δ и = 1 - (см. рис. 1.82, а).

По определению среднее ускорение равно

Центростремительное ускорение

Задачу нахождения мгновенного ускорения разобьем на две части: сначала найдем модуль ускорения, а потом его направление. За время Δt точка А совершит перемещение = Δ.

Рассмотрим треугольники ОАА 1 и А 1 СВ (см. рис. 1.82, а). Углы при вершинах этих равнобедренных треугольников равны, так как соответствующие стороны перпендикулярны. Поэтому треугольники подобны. Следовательно,

Разделив обе части равенства на Δt, перейдем к пределу при стремлении интервала времени Δt -» 0:

Предел в левой части равенства есть модуль мгновенного ускорения, а предел в правой части равенства представляет собой модуль мгновенной скорости точки. Поэтому равенство (1.26.1) примет вид:

Очевидно, что модуль ускорения при равномерном движении точки по окружности есть постоянная величина, так как v и г не изменяются при движении.

Направление ускорения

Найдем направление ускорения . Из треугольника A 1 CB следует, что вектор среднего ускорения составляет с вектором скорости угол β = . Но при Δt -> О точка А 1 бесконечно близко подходит к точке А и угол α -» 0. Следовательно, вектор мгновенного ускорения составляет с вектором скорости угол

Значит, вектор мгновенного ускорения а направлен к центру окружности (рис. 1.82, б). Поэтому это ускорение называется центростремительным (или нормальным 1).

Центростремительное ускорение на карусели и в ускорителе элементарных частиц

Оценим ускорение человека на карусели. Скорость кресла, в котором сидит человек, составляет 3-5 м/с. При радиусе карусели порядка 5 м центростремительное ускорение а = ≈ 2-5 м/с 2 . Это значение довольно близко к ускорению свободного падения 9,8 м/с 2 .

А вот в ускорителях элементарных частиц скорость оказывается довольно близкой к скорости света 3 10 8 м/с. Частицы движутся по круговой орбите радиусом в сотни метров. При этом центростремительное ускорение достигает огромных значений: 10 14 -10 15 м/с 2 . Это в 10 13 -10 14 раз превышает ускорение свободного падения.

Равномерно движущаяся по окружности точка имеет постоянное по модулю ускорение а = , направленное по радиусу к центру окружности (перпендикулярно скорости). Поэтому это ускорение называется центростремительным или нормальным. Ускорение а при движении непрерывно изменяется по направлению (си. рис. 1.82, б). Значит, равномерное движение точки по окружности является движением с переменным ускорением.

1 От латинского слова normalis - прямой. Нормаль к кривой линии в данной точке - прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной, проведенной через ту же точку.

При таком движении (рис. 6.10) и , так как при равномерном движении , а при движении по окружности . Из формулы скорость равномерного движения по окружности

Рис. 6.10. Равномерное движение точки по окружности

Если принять t = Т – периоду, т. е. времени одного обхода точкой окружности, то и

где – диаметр окружности.

3. Равнопеременное движение. Если , то движение точки называется равнопеременным.

Уравнение равнопеременного движения точки

.

– скорость в любой момент времени.

И .

А. При равнопеременном прямолинейном движении, если не известно время t , получим первую вспомогательную формулу

Если не известно :

,

где – средняя скорость точки при ее равномерном движении.

Б. Если равноускоренное движение точки начинается из начала отсчета траектории (S 0 = 0) и без начальной скорости (), то предыдущие формулы приобретают более простой вид:

Примерами такого движения могут служить движение автомобиля при трогании с места или движение самолета на взлетной полосе, а также известное из физики свободное падение тел.

В. При свободном падении . В этом случае, если в формулах из пункта (Б) S заменить высотой падения Н , то формулы примут вид

Предпоследняя из этих формул, представленная в виде , называется формулой Галилея .

Глава 7. Простейшие движения твердого тела

7.1. Поступательное движение

Движение твердого тела, при котором любой выбранный в теле отрезок прямой перемещается, оставаясь параллельным своему пер­воначальному положению, называется поступательным .

Рассмотрим две точки А и В , соединенные отрезком АВ (рис. 7.1). Очевид­но, что при перемещении отрезка АВ параллельно первоначальному положению () точки A и В движутся по одинаковым траекториям, т. е. если траекторию совместить с траекторией , то они совпадут. Если вместе с точкой A рассмотреть дви­жение точки C , то при движении тела отрезок АС также остается параллельным своему первоначальному положению () и траектория точки C (кривая ) одинакова с траекториями и :

Или , или ;

Или , или .

Рис. 7.1. К анализу поступательного движения твердого тела

Как видим, поступательное движение твердого тела полностью характеризуется движением любой его точки. Обычно поступательное движение тела задается движением его центра тяжести, иначе гово­ря, при поступательном движении тело можно считать материальной точкой.

Примерами поступательного движения тел могут служить какой-либо ползун 1 , движущийся в прямолинейных направляющих 2 (рис. 7.2, а ), или прямолинейно движущийся автомобиль (вернее, не весь автомобиль, а его шасси с кузовом). Иногда криволинейное движение на поворо­тах дорог автомобилей или поездов условно принимают за поступа­тельное. В подобных случаях говорят, что автомобиль или поезд движутся с такой-то скоростью или с таким-то ускорением.

Примерами криволинейного поступательного движения служат дви­жение вагончика (люльки) подвесной канатной дороги (рис. 7.2, б ) или движение спарника (рис. 7.2, в ), соединяющего два параллельных кривошипа. В последнем случае каждая точка спарника движется по окружности.

в

б

а

Рис. 7.2. Примеры поступательного движения тел:

а – прямолинейного; б , в – криволинейного

7.2. Вращательное движение.

Угловая скорость, угловое ускорение

Движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются по окружности, центры которой расположены на перпендикулярной этим окружностям неподвижной прямой, называется вращательным. Неподвижная прямая, на которой лежат центры круговых траекторий то­чек тела, называется его осью вращения. Для образования оси вра­щения достаточно закрепить какие-либо две точки тела. В качестве примеров вращательного движения тел можно привести движение две­рей или створок окон при их открывании или закрывании.

Представим себе тело в виде цилиндра, ось AB которого лежит в подшипниках (рис. 7.3).

Рис. 7.3. К анализу вращательного движения твердого тела

Движением одной какой-либо точки однозначно определить вращательное движение тела нельзя.

Для установления закона вращательного движения тела, по кото­рому можно определять его положение в данный момент, проведем через ось вращения тела связанную только с нею неподвижную полуплоскость НП, а внутри тела отметим подвижную полуплоскость, ко­торая вращается около оси вместе с телом, теперь угол φ, образуемый в каждый данный момент времени полуплоскостями НП и ПП, точно определяет положение тела в пространстве (см. рис. 7.3). Угол φ называется углом поворота и выражается в радианах. Чтобы определять положение тела в пространстве в любой момент времени, необходимо знать зависимость между углом поворота φ и временем t , т. е. знать закон вращательного движения тела:

Быстрота изменения угла поворота во времени характеризуется величиной, которая называется угловой скоростью.

Представим, что в некоторый момент времени t положение вращающегося тела определяется углом поворота φ, а в момент t + Δt – углом поворота φ + Δ φ. Следовательно, за время Δt тело повернулось на угол Δ φ, и величина

называется средней угловой скоростью.

Единицей угловой скорости является 1 рад/с. Характеристикой быстроты изменения угловой скорости служит угловое ускорение, обозначаемое . Среднее ускорение ;

.

Единица углового ускорения 1 рад/с 2 .

Условимся угол поворота, отсчитываемый против хода часовой стрелки, считать положительным, а отсчитываемый по ходу часовой стрелки – отрицательным.

а

б

Рис. 7.4. К определению вида вращательного движения

Векторы и – это скользящие векторы, которые направлены по оси вращения, чтобы, глядя из конца вектора (или ), видеть вращение, происходящее против часовой стрелки.

Если векторы и направлены в одну сторону (рис. 7.4, а ), то вращательное движение тела ускоренное – угловая скорость возрастает. Если векторы и направлены в противоположные стороны, то вращение тела замедленное – угловая скорость уменьшается (рис. 7.4, б ).

7.3. Частные случаи вращательного движения

1. Равномерное вращательное движение . Если угловое ускорение и, следовательно, угловая скорость

, (7.1)

то вращательное движение называется равномерным. Из выражения (7.1) после разделения переменных получим

Если при изменении времени от 0 до t угол поворота изменялся от φ 0 (начальный угол поворота) до φ, то, интегрируя уравнение в этих пределах:

получаем уравнение равномерного вращательного движения

которое в окончательном виде записывается так:

Если , то

Таким образом, при равномерном вращательном движении угловая скорость

Или при .

2. Равнопеременное вращательное движение . Если угловое ускорение

(7.2)

то вращательное движение называется равнопеременным. Производя разделение переменных в выражении (7.2):

и приняв, что при изменении времени от 0 до t угловая скорость изменилась от (начальная угловая скорость) до , проинтегрируем уравнение в этих пределах:

т. е. получим уравнение

выражающее значение угловой скорости в любой момент времени.

Закон равнопеременного вращательного движения или, с учетом уравнения (7.3):

Полагая, что в течение времени от 0 до t угол поворота изменялся от до , проинтегрируем уравнение в этих пределах:

или

Уравнение равнопеременного вращательного движения в оконча­тельном виде

(7.4)

Первую вспомогательную формулу получим, исключив из формул (7.3) и (7.4) время:

(7.5)

Исключив из тех же формул угловое ускорение , получим вторую вспомогательную формулу:

(7.6)

где – средняя угловая скорость при равнопере­менном вращательном движении.

Когда и , формулы (7.3)–(7.6) приобретают более простой вид:

В процессе конструирования угловое перемещение выражают не в радианах, а просто в оборотах.

Угловая скорость, выражаемая количеством оборотов в минуту, называется частотой вращения и обозначается n . Установим зависимость между (с –1) и n (мин –1). Так как , то при n (мин –1) за t = 1 мин = 60 с угол поворота . Следовательно:

При переходе от угловой скорости (с –1) к частоте вращения n (мин –1) имеем

7.4. Скорости и ускорения различных точек

вращающегося тела

Определим скорость и ускорение любой точки в любой момент времени. Для этой цели установим зависимость между угловыми величи­нами , и , характеризующими вращательное движение тела, и линейными величинами и , характеризующими движение точек тела.

Допустим, что тело, показанное на рис. 7.5, вращается по закону, описываемому уравнением . Требуется определить скорость и ускорение точки А этого тела, расположенной на расстоянии ρ от оси вращения O . Пусть тело за некоторое время t повернулось на угол φ, а точка А , двигаясь по окружности из некоторого начального положения , переместилась на расстояние . Так как угол φ выражается в радианах, то

т. е. расстояние, пройденное точкой вращающегося тела, пропорционально его углу поворота. Расстояние S и угол поворота φ – функции времени, a ρ – величина, постоянная для данной точки. Продифференцируем по времени обе части равенства (7.7) и получим

но – скорость точки, a – угловая скорость тела, поэтому

т. е. скорость точки вращающегося тела пропорциональна его угловой скорости.

Рис. 7.5. К определению скорости и ускорения точки

Изформулы (7.8) видно, что для точек, расположенных на оси вращения, и скорости этих точек также равны нулю. По мере изменения , т. е. у точек, находящихся дальше от оси вращения, скорости тем больше, чем больше значение . Пропорциональная зависимость скоростей различных точек вращающегося тела от их расстояний относительно оси вращения показана на рис. 7.6.

Рис. 7.6. Распределение скоростей при вращательном движении твердого тела

Продифференцировав обе части равенства (7.8), имеем

но – касательное ускорение точки, a – угловое ускорение тела, значит

т. е. касательное ускорение точки вращающегося тела пропорцио­нально его угловому ускорению.

Подставив в формулу значение скорости из формулы (7.8), получим

т. е. нормальное ускорение точки вращающегося тела пропорционально второй степени его угловой скорости.

Из формулы после подстановки вместо и их значений из формул (7.9) и (7.10) получаем

Направление вектора ускорения, т. е. угол , определяется по одной из формул , причем последнюю из них теперь можно представить в таком виде:

(7.12)

Из формул (7.11) и (7.12) следует, что для точек тела при его вращательном движении по заданному закону можно сначала найти ускорение а , а затем разложить его на касательное ускорение и нормальное ускорение , модуль которых

7.5. Способы передачи вращательного движения

В технике часто возникает необходимость передачи вращательно­го движения от одной машины к другой (например, от электродвига­теля к станку) или внутри какой-либо машины от одной вращающейся детали к другой. Механические устройства, предназначенные для передачи и преобразования вращательного движения, называ­ются передачами.

Глава 8. Сложное движение

8.1. Сложное движение точки

Примером сложного движения точки может служить:

а) лодка (если ее принять за материальную точку), плывущая от одного берега реки к другому;

б) шагающий по ступенькам движущегося эскалатора метро че­ловек, который также совершает сложное движение относительно неподвижного свода туннеля.

Таким образом, при сложном движении точка, двигаясь относи­тельно некоторой подвижной материальной среды, которую условимся называть подвижной системой отсчета, одновременно передвигается вместе с этой системой отсчета относительно второй системы от­счета, условно принимаемой за неподвижную.

Движение некоторой точки М по отношению к подвижной системе отсчета называется относительным. Движение подвижной системы от­счета вместе со всеми связанными с ней точками материальной сре­ды по отношению к неподвижной системе отсчета для точки М называется переносным. Движение точки М по отношению к неподвижной системе отсчета называется сложным, или абсолютным.

Для того чтобы видеть сложное (абсолютное) движение точки, наблюдатель сам должен быть связан с неподвижной системой отсче­та. Если же наблюдатель находится в подвижной системе отсчета, то он видит лишь относительную часть сложного движения.

Представим, что точка М за некоторое время переместилась от­носительно подвижной системы координат O 1 X 1 Y 1 из начального по­ложения M 0 в положение М 1 по траектории M 0 М 1 (траектории относительного движения точки) (рис. 8.1). За это же время Δt подвижная система координат O 1 X 1 Y 1 вместе со всеми неизменно связанными с ней точ­ками, а значит, и вместе с траекторией относительного движения точки М переместилась в неподвижной системе координат OXY в но­вое положение:

Рис. 8.1. К анализу сложного движения точки

Разделим обе части этого равенства на время движения Δt :

и получим геометрическую сумму средних скоростей:

,

которые направлены вдоль соответствующих векторов перемещений. Если теперь перейти к пределам при , то получим уравнение

выражающее теорему сложения скоростей : при сложном движении точ­ки абсолютная скорость в каждый момент времени равна геометри­ческой сумме переносной и относительной скоростей.

Если задан угол , то модуль абсолютной скорости

Углы, образуемые векторами абсолютной скорости с век­торами и , определяются по теореме синусов.

В частном случае при при сложении этих скоростей образуется ромб (рис. 8.2, а ) или равнобедренный треугольник (рис. 8.2, б ) и, следовательно,

Рис. 8.2. Частный случай

8.2. Плоскопараллельное движение тела

Движение твердого тела, при котором все его точки движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости, назы­вается плоскопараллельным (рис. 8.3).

Рис. 8.3. Плоскопараллельное движение твердого тела

Изучая плоскопараллельное движение тела М , достаточно рас­сматривать движение его плоского сечения q плоскости ХОY (рис. 8.4).

Рис. 8.4. К анализу плоскопараллельного движения твердого тела

Выберем в сечении q произвольную точку A , которую назовем полюсом. С полюсом А свяжем некоторую прямую KL , а в самом се­чении вдоль прямой KL проведем отрезок AB , перемещая плоское сечение из положения q в положение q 1 . Можно сначала передви­нуть его вместе с полюсом А поступательно, а затем повернуть на угол φ.

Плоскопараллельное движение тела – движение сложное и состоит из поступательного движения вместе с полюсом и вращательного движения вокруг полюса.

Закон плоскопараллельного движения можно задать тремя уравнениями:

Дифференцируя заданные уравнения плоскопараллельного движе­ния, можно в каждый момент времени определить скорость и ускорение полюса, а также угловую скорость и угловое ускорение тела.

Пример 8.1. Пусть движение катящегося колеса диаметром d (рис. 8.5) за­дано уравнениями

где и – м, φ – рад, t – с.

Продифференцировав эти уравнения, нахо­дим, что скорость полюса O угловая ско­рость колеса Ускорение полюса и угловое ускорение колеса в данном случае равны нулю. Зная скорость полю­са и угловую скорость тела, можно затем определить скорость лю­бой его точки.

Рис. 8.5. К примеру 8.1

8.3. Определение скорости любой точки тела

при плоскопараллельном движении

Пусть дано плоское сечение q , угловая скорость и скорость полюса которого в некоторый момент времени соответственно и . Требуется определить скорость какой-либо точки А (рис. 8.6).

Расчленим плоскопараллельное движение на составные части – поступательную и вращательную. При поступательном движении вмес­те с полюсом (переносное движение) все точки сечения, и точка А в том числе, имеют переносную скорость , равную скорости по­люса. Одновременно с поступательным сечение q совершает враща­тельное движение с угловой скоростью (относительное движение):

где – относительная скорость точки A ().

Рис. 8.6. К определению скорости тела при плоскопараллельном движении

Следовательно, в каждый данный момент времени

т. е. абсолютная скорость точки тела при плоскопараллельном дви­жении равна геометрической сумме скорости полюса и относительной скорости этой точки вокруг полюса.

Модуль абсолютной скорости может быть определен по формуле

а направление – с помощью теоремы синусов. Если же направление абсолютной скорости известно, то ее модуль проще определить на основании следующей теоремы: проекции скоростей двух точек твер­дого тела на прямую, соединяющую эти точки, равны между собой.

Допустим, что известны скорости и точек A и В какого-либо тела (рис. 8.7). Приняв за полюс точку A , получим

Рис. 8.7. Векторы скоростей точек плоской фигуры

Относительная скорость перпендикулярна АВ . Следовательно, или . Теорема доказана.

Глава 9. Движение несвободной

материальной точки

9.1. Основные понятия и аксиомы динамики

Динамика изучает движение материальных тел под действием сил. В основе динамики лежат следующие аксиомы.

Аксиома 1 (принцип инерции) . Всякая изолированная матери­альная точка находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока приложенные силы не выведут ее из этого состояния.

Аксиома 2 (основной закон динамики) . Ускорение матери­альной точки пропорционально действующей силе F и направлено по той прямой, по которой действует эта сила (рис. 9.1).

Рис. 9.1. К основному закону динамики

Математически вторая аксиома записывается векторным равенством

где m – коэффициент пропорциональности, выражающий меру инертности материальной точки и называемый ее массой.

В Международной системе единиц (СИ) масса выражается в килограммах.

Зависимость между числовыми значениями (модулями) сил и уско­рения выражается равенством

На все материальные тела вблизи Земли действует сила тяжести G . При свободном падении на Землю телá любой массы приобретают одно и то же ускорение g , которое называется ускорени­ем свободного падения. Для свободно падающего тела из предыдущего уравнения следует зависимость:

Таким образом, значение силы тяжести тела в ньютонах равно произведению его массы на ускорение свободного падения.

Аксиома 3 (закон независимости действия сил) . Если к материальной точке приложена система сил, то каждая из сил сис­темы сообщает точке такое же ускорение, какое она сообщила бы, действуя одна.

Материальная точка, движение которой в пространстве не огра­ничено какими-либо связями, называется свободной. Приме­ром свободной материальной точки может служить искусственный спутник Земли в околоземном пространстве или летящий самолет. Их перемещение в пространстве ничем не ограничено, поэтому летчик на спортивном самолете способен проделывать различные сложные фигуры высшего пилотажа.

Задачи динамики сводятся к двум основ­ным:

1) задается закон движения точки, требуется определить дейст­вующую на нее силу или систему сил (первая задача динамики);

2) задается система сил, действующая на точку, требуется оп­ределить закон движения (вторая задача динамики).

Обе задачи динамики решаются с помощью основного закона дина­мики, записанного в форме или .

Материальная точка, свобода перемещения которой ограничена наложенными связями, называется несвободной. Примером несвободной материальной точки может служить движущийся по рель­сам трамвай, если пренебречь его формой и размерами. Для несво­бодной материальной точки все внешние силы необходимо делить на две категории: активные (движущие) силы и реакции связи (пассивные силы). В связи с этим первая задача динамики несво­бодной точки сводится к определению реакций связей, если заданы законы движения точки и действующие на нее активные силы. Вторая задача динамики сводится к тому, чтобы, зная действующие на точ­ку активные силы, определить, во-первых, закон движения точки и, во-вторых, реакции связей.

Если несвободную материальную точку освободить от связей и заменить связи их реакциями, то движение точки можно рассматри­вать как свободное, а основному закону динамики придать такой вид:

,

где – активные силы;

– реакции связей;

m – масса точки;

– ускорение точки, полученное в результате действия внешних сил (активных и пассивных).

9.3. Силы инерции

Сила, численно равная произведению массы материальной точки на приобретенное ею ускорение и направленная в сторону, противо­положную ускорению, называется силой инерции (рис. 9.3):

Рис. 9.3. Сила инерции

Сила инерции в действительности не приложена к получившей ускорение материальной точке, а действует на точку или тело, ко­торое сообщает ускорение этой точке.

Поясним это несколькими примерами.

Тяжелый груз, масса которого m , висит на непрочной, но способной выдержать натяжение R = G нити (рис. 9.4, а ). Если теперь резко потянуть нить вертикально вверх, то она может оборваться (рис. 9.4, б ). На нить начинает действовать дополнительная сила инерции , численно рав­ная , противодействующая выходу груза из состоя­ния инерции (рис. 9.4, в ). Нить может оборваться и в том случае, если толкнуть в горизонтальном направлении подвешенный груз, заставив его рас­качиваться на нити (рис. 9.4, г ).

При криволинейном движении материальной точки (рис. 9.5) у нее возникает ускорение , кото­рое обычно заменяют двумя составляющими ускорениями: (нормальное ускорение) и (касательное ускорение). Поэтому при криволинейном движении материальной точки возникают две состав­ляющие силы инерции : нормальная (иначе центробежная) сила инерции

и касательная (иначе тангенциальная) сила инерции

а б в г

Рис. 9.4. К анализу дейсвия сил инерции

Рис. 9.5. Векторы ускорений и сил инерции

9.4. Принцип Даламбера

Силы инерции широко используются при расчетах и решении тех­нических задач, причем использование сил инерции позволяет решения многих задач, в ко­торых рассматривается движение несвободной материальной точки, свес­ти к знакомым нам уравнениям статики:

Условно прикладывая силу инерции к движущейся материаль­ной точке, можем считать, что активные силы , реакции связей и сила инерции образуют уравновешенную систему (принцип Даламбера ).

Решение задач динамики с помощью принципа Даламбера иногда называют методом кинетостатики.

Глава 10. Работа и мощность