Что общего у египетских пирамид, картины «Мона Лиза» Леонардо да Винчи и логотипов Twitter и Pepsi?

Не будем тянуть с ответом – все они созданы с использованием правила золотого сечения. Золотое сечение – это соотношение двух величин а и b, которые не равны между собой. Данная пропорция часто встречается в природе, также правило золотого сечения активно используется в изобразительном искусстве и дизайне – композиции, созданные с использованием «божественной пропорции», хорошо сбалансированы и, что называется, приятны для глаз. Но что именно представляет собой золотое сечение и можно ли использовать его в современных дисциплинах, к примеру, в веб-дизайне? Давайте разберемся.

НЕМНОГО МАТЕМАТИКИ

Допустим, у нас есть некий отрезок АБ, разделенный надвое точкой С. Соотношение длин отрезков: AC/BC = BC/AB. То есть, отрезок разделен на неравные части таким образом, что большая часть отрезка составляет такую же долю в целом, неразделенном отрезке, какую меньший отрезок составляет в большем.

Такое неравное разделение и называется золотым сечением. Обозначается золотое сечение символом φ. Значение φ составляет 1,618 или 1,62. В общем, если говорить совсем просто, это деление отрезка или любой другой величины в отношении 62% и 38%.

«Божественная пропорция» была известна людям с древнейших времен, этим правилом пользовались при возведении египетских пирамид и Парфенона, золотое сечение можно обнаружить в росписи Сикстинской капеллы и на картинах Ван Гога. Широко используется золотое сечение и в наши дни – примеры, которые постоянно у нас перед глазами – это логотипы Twitter и Pepsi.

Человеческий мозг устроен таким образом, что он считает красивыми те изображения или объекты, в которых можно обнаружить неравное соотношение частей. Когда мы говорим о ком-то, что «он пропорционально сложен», мы, сами того не ведая, имеем в виду золотое сечение.

Золотое сечение можно применять к различным геометрическим фигурам. Если взять квадрат и умножить одну его сторону на 1,618, то мы получим прямоугольник.

Теперь, если наложить квадрат на этот прямоугольник, мы сможем увидеть линию золотого сечения:

Если продолжать использовать эту пропорцию и разбивать прямоугольник на более мелкие части, мы получим вот такую картину:

Пока еще не понятно, куда нас заведет это дробление геометрических фигур. Еще чуть-чуть и все станет ясно. Если в каждом из квадратов схемы провести плавную линию, равную четвертинке окружности, то мы получим Золотую спираль.

Это необычная спираль. Ее еще иногда называют спиралью Фибоначчи, в честь ученого, который исследовал последовательность, в которой каждое число рано сумме двух предыдущих. Суть в том, что это математическое соотношение, визуально воспринимаемое нами как спираль, встречается буквально повсюду – подсолнухи, морские раковины, спиральные галактики и тайфуны – везде есть золотая спираль.

КАК МОЖНО ИСПОЛЬЗОВАТЬ ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В ДИЗАЙНЕ?

Итак, теоретическая часть окончена, переходим к практике. Неужели золотое сечение можно использовать в дизайне? Да, можно. К примеру, в веб-дизайне. Учитывая данное правило, можно получить правильное соотношение композиционных элементов макета. В результате все части дизайна, вплоть до самых маленьких, будут гармонично сочетаться между собой.

Если взять типичный макет с шириной 960 пикселей и применить к нему правило золотого сечения, то мы получим вот такую картину. Соотношение между частями составляет уже известное 1:1,618. В результате мы имеем двухколоночный макет, с гармоничным сочетанием двух элементов.

Сайты с двумя колонками встречаются очень часто и это далеко не случайно. Вот, к примеру, сайт National Geographic. Две колонки, правило золотого сечения. Хороший дизайн, упорядоченный, сбалансированный и учитывающий требования визуальной иерархии.

Еще один пример. Дизайн-студия Moodley разработала фирменный стиль для фестиваля исполнительского искусства в Брегенце. Когда дизайнеры работали над афишей мероприятия, они однозначно пользовались правилом золотого сечения для того, чтобы верно определить размер и расположения всех элементов и в результате получить идеальную композицию.

Агентство Lemon Graphic, создавшее визуальный образ для компании Terkaya Wealth Management, также использовала соотношение 1:1,618 и золотую спираль. Три элемента дизайна визитной карточки прекрасно вписываются в схему, в результате чего все части очень хорошо сочетаются между собой

А вот еще интересное использование золотой спирали. Перед нами опять сайт National Geographic. Если взглянуть на дизайн повнимательнее, то можно увидеть, что на странице есть еще один логотип NG, только поменьше, который расположен ближе к центру спирали.

Разумеется, это не случайно – дизайнеры прекрасно знали, что они делают. Это отличное место, чтобы продублировать логотип, так как наш глаз, рассматривая сайт, естественным образом смещается к центру композиции. Так работает подсознание и это необходимо учитывать при работе над дизайном.

ЗОЛОТЫЕ КРУГИ

«Божественная пропорция» может применяться к любым геометрическим фигурам, в том числе и к кругам. Если вписать окружность в квадраты, соотношение между которыми составляет 1:1,618, то мы получим золотые круги.

Вот логотип Pepsi. Все ясно без слов. И соотношение, и то, как была получена плавная дуга белого элемента логотипа.

С логотипом Twitter все немного сложнее, но и здесь видно, что его дизайн основан на использовании золотых кругов. Он немного не соответствует правилу «божественной пропорции», но по большей части все его элементы вписываются в схему.

ВЫВОД

Как видно, несмотря на то, что правило золотого сечения известно с незапамятных времен, оно нисколько не устарело. Следовательно, его можно использовать в дизайне. Не обязательно изо всех сил стараться уложиться в схему – дизайн дисциплина неточная. Но если нужно добиться гармоничного сочетания элементов, то попробовать применить принципы золотого сечения не помешает.

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения - высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.

Золотое сечение - гармоническая пропорция

В математике пропорцией (лат. proportio) называют равенство двух отношений: a : b = c : d .

Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующими способами:

на две равные части - АВ : АС = АВ : ВС ;





на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);





таким образом, когда АВ : АС = АС : ВС .

Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.

Золотое сечение - это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему

a : b = b : c или с : b = b : а .

Рис. 1. Геометрическое изображение золотой пропорции

Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки.

Рис. 2. Деление отрезка прямой по золотому сечению. BC = 1/2 AB ; CD = BC

Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ . Полученная точка С соединяется линией с точкой А . На полученной линии откладывается отрезок ВС , заканчивающийся точкой D . Отрезок AD переносится на прямую АВ . Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.

Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE = 0,618..., если АВ принять за единицу, ВЕ = 0,382... Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая - 38 частям.

Свойства золотого сечения описываются уравнением:

x 2 - x - 1 = 0.

Решение этого уравнения:

Свойства золотого сечения создали вокруг этого числа романтический ореол таинственности и чуть ли не мистического поклонения.

Второе золотое сечение

Болгарский журнал «Отечество» (№10, 1983 г.) опубликовал статью Цветана Цекова-Карандаша «О втором золотом сечении», которое вытекает из основного сечения и дает другое отношение 44: 56.

Такая пропорция обнаружена в архитектуре, а также имеет место при построении композиций изображений удлиненного горизонтального формата.

Рис. 3. Построение второго золотого сечения

Деление осуществляется следующим образом (см. рис.3). Отрезок АВ делится в пропорции золотого сечения. Из точки С восставляется перпендикуляр СD . Радиусом АВ находится точка D , которая соединяется линией с точкой А . Прямой угол АСD делится пополам. Из точки С проводится линия до пересечения с линией AD . Точка Е делит отрезок AD в отношении 56: 44.

Рис. 4. Деление прямоугольника линией второго золотого сечения

На рис. 4 показано положение линии второго золотого сечения. Она находится посередине между линией золотого сечения и средней линией прямоугольника.

Золотой треугольник

Для нахождения отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов можно пользоваться пентаграммой .

Рис. 5. Построение правильного пятиугольника и пентаграммы

Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник. Способ его построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюрер (1471...1528). Пусть O - центр окружности, A - точка на окружности и Е - середина отрезка ОА . Перпендикуляр к радиусу ОА , восставленный в точкеО , пересекается с окружностью в точке D . Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED . Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC . Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.

Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.

Рис. 6. Построение золотого треугольника

Проводим прямую АВ . От точки А откладываем на ней три раза отрезок О произвольной величины, через полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии АВ , на перпендикуляре вправо и влево от точки Р откладываем отрезки О . Полученные точки d и d 1 соединяем прямыми с точкой А . Отрезок dd 1 откладываем на линию Ad 1 , получая точку С . Она разделила линию Ad 1 в пропорции золотого сечения. Линиями Ad 1 и dd 1 пользуются для построения «золотого» прямоугольника.

История золотого сечения

Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.

Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников.

Рис. 7. Динамические прямоугольники

Платон (427...347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог «Тимей» посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности, вопросам золотого деления.

В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления.

Рис. 8. Античный циркуль золотого сечения

В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах» Евклида. Во 2-й книге «Начал» дается геометрическое построение золотого деления После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.

В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. Лука Пачоли был учеником художника Пьеро делла Франчески, написавшего две книги, одна из которых называлась «О перспективе в живописи». Его считают творцом начертательной геометрии.

Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли «Божественная пропорция» с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее «божественную суть» как выражение божественного триединства бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок - бога отца, а весь отрезок - бога духа святого).

Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению названиезолотое сечение . Так оно и держится до сих пор как самое популярное.

В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет. «Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать».

Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица - ртом и т.д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера.

Великий астроном XVI в. Иоган Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение).

Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя «Устроена она так, - писал он, - что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности».

Построение ряда отрезков золотой пропорции можно производить как в сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий ряд).

Если на прямой произвольной длины, отложить отрезок m , рядом откладываем отрезок M . На основании этих двух отрезков выстраиваем шкалу отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов

Рис. 9. Построение шкалы отрезков золотой пропорции

В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы «вместе с водой выплеснули и ребенка». Вновь «открыто» золотое сечение было в середине XIX в. В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования». С Цейзингом произошло именно то, что и должно было неминуемо произойти с исследователем, который рассматривает явление как таковое, без связи с другими явлениями. Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, но были и противники, которые объявили его учение о пропорциях «математической эстетикой».

Рис. 10. Золотые пропорции в частях тела человека

Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа - важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13: 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8: 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1: 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела - длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.

Рис. 11. Золотые пропорции в фигуре человека

Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского. Подверглись исследованию греческие вазы, архитектурные сооружения различных эпох, растения, животные, птичьи яйца, музыкальные тона, стихотворные размеры. Цейзинг дал определение золотому сечению, показал, как оно выражается в отрезках прямой и в цифрах. Когда цифры, выражающие длины отрезков, были получены, Цейзинг увидел, что они составляют ряд Фибоначчи, который можно продолжать до бесконечности в одну и в другую сторону. Следующая его книга имела название «Золотое деление как основной морфологический закон в природе и искусстве». В 1876 г. в России была издана небольшая книжка, почти брошюра, с изложением этого труда Цейзинга. Автор укрылся под инициалами Ю.Ф.В. В этом издании не упомянуто ни одно произведение живописи.

В конце XIX - начале XX вв. появилось немало чисто формалистических теории о применении золотого сечения в произведениях искусства и архитектуры. С развитием дизайна и технической эстетики действие закона золотого сечения распространилось на конструирование машин, мебели и т.д.

Ряд Фибоначчи

С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи (сын Боначчи). Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с индийскими (арабскими) цифрами. В 1202 г вышел в свет его математический труд «Книга об абаке» (счетной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи. Одна из задач гласила «Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится». Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр:

Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21: 34 = 0,617, а 34: 55 = 0,618. Это отношение обозначается символом Ф . Только это отношение - 0,618: 0,382 - дает непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

Фибоначчи так же занимался решением практических нужд торговли: с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар? Фибоначчи доказывает, что оптимальной является такая система гирь: 1, 2, 4, 8, 16...

Обобщенное золотое сечение

Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого деления в растительном и в животном мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому ряду как арифметическому выражению закона золотого деления.

Ученые продолжали активно развивать теорию чисел Фибоначчи и золотого сечения. Ю. Матиясевич с использованием чисел Фибоначчи решает 10-ю проблему Гильберта. Возникают изящные методы решения ряда кибернетических задач (теории поиска, игр, программирования) с использованием чисел Фибоначчи и золотого сечения. В США создается даже Математическая Фибоначчи-ассоциация, которая с 1963 года выпускает специальный журнал.

Одним из достижений в этой области является открытие обобщенных чисел Фибоначчи и обобщенных золотых сечений.

Ряд Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8) и открытый им же «двоичный» ряд гирь 1, 2, 4, 8, 16... на первый взгляд совершенно разные. Но алгоритмы их построения весьма похожи друг на друга: в первом случае каждое число есть сумма предыдущего числа с самим собой 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2..., во втором - это сумма двух предыдущх чисел 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2.... Нельзя ли отыскать общую математическую формулу, из которой получаются и «двоичный» ряд, и ряд Фибоначчи? А может быть, эта формула даст нам новые числовые множества, обладающие какими-то новыми уникальными свойствами?

Действительно, зададимся числовым параметром S , который может принимать любые значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Рассмотрим числовой ряд, S + 1 первых членов которого - единицы, а каждый из последующих равен сумме двух членов предыдущего и отстоящего от предыдущего на S шагов. Если n -й член этого ряда мы обозначим через φ S (n ), то получим общую формулу φ S (n ) = φ S (n - 1) + φ S (n - S - 1).

Очевидно, что при S = 0 из этой формулы мы получим «двоичный» ряд, при S = 1 - ряд Фибоначчи, при S = 2, 3, 4. новые ряды чисел, которые получили название S -чисел Фибоначчи.

В общем виде золотая S -пропорция есть положительный корень уравнения золотого S -сечения x S+1 - x S - 1 = 0.

Нетрудно показать, что при S = 0 получается деление отрезка пополам, а при S = 1 -знакомое классическое золотое сечение.

Отношения соседних S -чисел Фибоначчи с абсолютной математической точностью совпадают в пределе с золотыми S -пропорциями! Математики в таких случаях говорят, что золотые S -сечения являются числовыми инвариантами S -чисел Фибоначчи.

Факты, подтверждающие существование золотых S -сечений в природе, приводит белорусский ученый Э.М. Сороко в книге «Структурная гармония систем» (Минск, «Наука и техника», 1984). Оказывается, например, что хорошо изученные двойные сплавы обладают особыми, ярко выраженными функциональными свойствами (устойчивы в термическом отношении, тверды, износостойки, устойчивы к окислению и т. п) только в том случае, если удельные веса исходных компонентов связаны друг с другом одной из золотых S -пропорций. Это позволило автору выдвинуть гипотезe о том, что золотыеS -сечения есть числовые инварианты самоорганизующихся систем. Будучи подтвержденной экспериментально, эта гипотеза может иметь фундаментальное значение для развития синергетики - новой области науки, изучающей процессы в самоорганизующихся системах.

С помощью кодов золотой S -пропорции можно выразить любое действительное число в виде суммы степеней золотых S -пропорций с целыми коэффициентами.

Принципиальное отличие такого способа кодирования чисел заключается в том, что основания новых кодов, представляющие собой золотые S -пропорции, при S > 0 оказываются иррациональными числами. Таким образом, новые системы счисления с иррациональными основаниями как бы ставят «с головы на ноги» исторически сложившуюся иерархию отношений между числами рациональными и иррациональными. Дело в том, что сначала были «открыты» числа натуральные; затем их отношения - числа рациональные. И лишь позже - после открытия пифагорийцами несоизмеримых отрезков - на свет появились иррациональные числа. Скажем, в десятичной, пятеричной, двоичной и других классических позиционных системах счисления в качестве своеобразной первоосновы были выбраны натуральные числа - 10, 5, 2, - из которых уже по определенным правилам конструировались все другие натуральные, а также рациональные и иррациональные числа.

Своего рода альтернативой существующим способам счисления выступает новая, иррациональная система, в качестве первоосновы, начала счисления которой выбрано иррациональное число (являющееся, напомним, корнем уравнения золотого сечения); через него уже выражаются другие действительные числа.

В такой системе счисления любое натуральное число всегда представимо в виде конечной - а не бесконечной, как думали ранее! - суммы степеней любой из золотых S -пропорций. Это одна из причин, почему «иррациональная» арифметика, обладая удивительной математической простотой и изяществом, как бы вобрала в себя лучшие качества классической двоичной и «Фибоначчиевой» арифметик.

Принципы формообразования в природе

Все, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление находит осуществление в основном в двух вариантах - рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали.

Раковина закручена по спирали. Если ее развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см. Спирали очень распространены в природе. Представление о золотом сечении будет неполным, если не сказать о спирали.

Рис. 12. Спираль Архимеда

Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал ее и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике.

Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филотаксис), семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гете называл спираль «кривой жизни».

Среди придорожных трав растет ничем не примечательное растение - цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок.

Рис. 13. Цикорий

Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий - 38, четвертый - 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.

Рис. 14. Ящерица живородящая

В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции - длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38.

И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы - симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста.

Природа осуществила деление на симметричные части и золотые пропорции. В частях проявляется повторение строения целого.

Рис. 15. Яйцо птицы

Великий Гете, поэт, естествоиспытатель и художник (он рисовал и писал акварелью), мечтал о создании единого учения о форме, образовании и преобразовании органических тел. Это он ввел в научный обиход термин морфология.

Пьер Кюри в начале нашего столетия сформулировал ряд глубоких идей симметрии. Он утверждал, что нельзя рассматривать симметрию какого-либо тела, не учитывая симметрию окружающей среды.

Закономерности «золотой» симметрии проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в строении некоторых химических соединений, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов. Эти закономерности, как указано выше, есть в строении отдельных органов человека и тела в целом, а также проявляются в биоритмах и функционировании головного мозга и зрительного восприятия.

Золотое сечение и симметрия

Золотое сечение нельзя рассматривать само по себе, отдельно, без связи с симметрией. Великий русский кристаллограф Г.В. Вульф (1863...1925) считал золотое сечение одним из проявлений симметрии.

Золотое деление не есть проявление асимметрии, чего-то противоположного симметрии Согласно современным представлениям золотое деление - это асимметричная симметрия. В науку о симметрии вошли такие понятия, как статическая и динамическая симметрия . Статическая симметрия характеризует покой, равновесие, а динамическая - движение, рост. Так, в природе статическая симметрия представлена строением кристаллов, а в искусстве характеризует покой, равновесие и неподвижность. Динамическая симметрия выражает активность, характеризует движение, развитие, ритм, она - свидетельство жизни. Статической симметрии свойственны равные отрезки, равные величины. Динамической симметрии свойственно увеличение отрезков или их уменьшение, и оно выражается в величинах золотого сечения возрастающего или убывающего ряда.

На практике при выборе формата листа (картины) часто используют «классические» пропорции сторон прямоугольника, в котором отношение меньшей стороны к большей составляет число 0,6180339, а большей к меньшей — 1,6180339. Эти числа с древнейших времён называют золотыми, а отношение величин, необходимое для их получения, известно как золотая пропорция или золотое сечение.

Основа учения о гармонии мира, выраженная в числовых отношениях, была заложена древнегреческим учёным-математиком Пифагором (VI в до н.э). Им представлено золотое сечение как одна из закономерностей, математически точно определяющая наиболее красивое и гармоничное соотношение частей целого, разделённого на две неравные половины.

На соотношении частей отрезка в пропорциях золотого сечения основано построение прямоугольника. С помощью диагоналей осуществляется членение его на составные части, при котором образуется динамика пропорциональных фигур — квадрата, прямоугольника, а также прямоугольного и равнобедренного треугольников.

Т.о., используя диагонали можно получить последовательный ряд увеличивающихся прямоугольников, с соотношением сторон — 1:√ 2, 1:√3, 1:√4, 1:√5, производных от квадрата.

При стороне √4 образуется прямоугольник с удвоенным квадратом. При стороне √3 образуется два прямоугольных треугольника, у которых общая гипотенуза является диагональю прямоугольника, равная удвоенной величине меньшего катета (т.е. стороне квадрата), и они имеют острые углы 30 и 60 градусов.

Диагональ используется и в построении последовательно увеличивающихся квадратов, создающих «динамическое» развитие их величины.

В этом построении сторона каждого последующего квадрата относится к стороне предыдущего, как диагональ квадрата к его же стороне. Эти преобразования иногда называют «активным квадратом».

Геометрическая система динамических пропорций квадрата, прямоугольника и треугольника были основой в создании архитектурных сооружений в ранний период Древнего Египта. Кроме того, в условиях примитивной техники архитектурного строительства в те далёкие времена постоянно требовалось восстановление перпендикуляра к прямой, которое осуществлялось тогда при помощи верёвки с 12 узлами. С использованием такого приспособления получался прямоугольный треугольник с отношением строно - 3:4:5, который впоследствии стали называть египетским. В настоящее время на его основе строят прямые углы и проводят перпендикуляры к концу отрезка.

С древнейших времён золотое сечение используется в практике построения различных изображений. Это способствует созданию гармоничных образов и уравновешенности пропорций во всём, что на окружает. Пропорции золотого сечения присутствуют в мамематике, и особенно в геометрии, в изобразительном искусстве, в быту и в природе, в растительном и животном мире.

Золотое сечение получило широкое развитие в математике. Так, в XVI веке итальянский учёный Фибоначчи выстроил математический ряд цифр, при котором последующее число определяет сумму двух предыдущих - 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. Кроме того, устанавливается и другая зависимость этих чисел, при которой отношение каждого последующего к предыдущему выражается числом 1,618..., а предыдущего к последующему - 0,618. Таким образом, в этом математическом ряду образуется взаимосвязь чисел, содержащая пропорции золотого сечения.

Особенно часто золотое сечение используется в геометрии при делении окружности на равные части и построении правильных многоугольников.

В звёздчатом многоугольнике - пятиконечной звезде, каждая точка пересечения её сторон делит их на две неравные части в пропорциях золотого сечения.

С древнейших времён золотое сечение применялось в различных видах изобразительного искусства - в архитектуре, вкульптуре, живописи. Парфенон - классический пример применения золотого сечения в архитектуре.

Особенно широко использовал в своём творчестве соотношение величин золотого сечения Леонардо да Винчи, которое он назвал «божественная пропорция».

Числовой гармонии золотого сечения подчиняются также античные статуи греческого искусства, отражающие пропорции идеально сложённого человеческого тела.

Золотое сечение применяют в начертании букв и цифр различного шрифта.

Золотое сечение часто используют в определении величины прямоугольника при заданной его большей или меньшей стороне. Если у прямоугольной картины задана длина (АВ), то её высоту (АС) определяют следующим построением:

Сначала из конца отрезка (В) проводят дугу, равную его половине до пересечения с перпендикуляром (АО=ОВ=ВД). Полученную точку Д соединяют прямой с другим концом отрезка (А). Затем из точки Д проводят дугу радиусом ВД до пересечения с этой прямой и отмечают точку Е. Дуга, проведённая из конца отрезка А радиусом АЕ определяет по вертикальной прямой точку С и искомую высоту картины АС.

Если задана высота картины (АС), то её длину (АВ) определяют другим построением. Сначала строят квадрат АСДЕ со стороной равной АС. Затем из середины стороны квадрата (О) проводят дугу радиусом ОД и получают на горизонтальной прямой точку В, которая определит искомую длину стороны прямоугольной картины АВ.

По прямоугольнику с золотыми пропорциями можно построить любой величинны подобный формат листа.

Для этого его накладывают на лист бумаги в один из его углов (А) и проводят в нём диагональ. Затем от точки А откладывают заданный размер горизонтальной или вертикальной стороны формата листа и через его конец проводят перпендикуляр до пересечения с диагональю, которая определит вторую сторону прямоугольника.

Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это теорема Пифагора, а другое - деление отрезка в среднем и крайнем отношении. Первое можно сравнить с мерой золота; второе же больше напоминает драгоценный камень.

И. Кеплер

А знаете ли вы, что, идя в школу или на работу, слушая музыку, занимаясь домашним хозяйством, отдыхая в отпуске на море или подписывая деловые контракты, мы постоянно сталкиваемся с примерами золотого сечения. Растения, животные, посуда и даже некоторые буквы построены по принципу золотого сечения. Золотое сечение обнаружено даже в молекуле ДНК.

Я бы хотела познакомить вас с этим невероятным, на мой взгляд, явлением поближе и рассказать конкретно, где и как мы с ним сталкиваемся и в чём применяем.

Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н. э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе ив рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления. Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников.

Что такое золотое сечение, применение золотого сечения в математике.

Золотое сечение - это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему a: b = b: c или с: b = b: а.

Построить такую пропорцию можно следующим образом:

Из точки В восстанавливаем перпендикуляр, равный половине АВ. Образовавшаяся точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладываем отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.

Свойства золотого сечения описываются уравнением: x*х – x – 1 = 0.

Решение этого уравнения:

В природе так же было открыто второе золотое сечение, которое вытекает из основного сечения и даёт другое отношение 44:56. Эта пропорция была обнаружена в архитектуре, а так же имеет место при построении композиций изображений удлинённого горизонтального формата.

Данный отрезок АВ делим в пропорции золотого сечения. Из точки С восстанавливаем перпендикуляр СD. Радиусом АВ находим точку D, затем соединяем её линией с точкой А. Прямой угол АСD делим пополам. Из точки С проводим линию до пересечения с АD. Полученную точку назовём буквой Е, которая и делит отрезок АD в отношении 44:56.

На рисунке показано положение линии второго золотого сечения. Она находится посередине между линией золотого сечения и средней линией прямоугольника.

Если в «золотом прямоугольнике» ABCD вычленить квадрат AEFD, то оставшаяся часть EBCF, оказывается, является новым «золотым прямоугольником», который снова может быть разделен на квадрат GHCF и меньший «золотой прямоугольник» EBHG. Повторяя многократно эту процедуру, мы получим бесконечную последовательность квадратов и золотых прямоугольников, которые в пределе сходятся к точке O. Заметим, что такое бесконечное повторение одних и тех же геометрических фигур, то есть квадрата и золотого прямоугольника, вызывает у нас неосознанное эстетическое чувство ритма и гармонии. Считается, что именно это обстоятельство является причиной того, что многие предметы прямоугольной формы, с которыми человек имеет дело (спичечные коробки, зажигалки, книги, чемоданы), зачастую имеют форму золотого прямоугольника. Например, мы широко пользуемся кредитными карточками в нашей повседневной жизни, но не обращаем внимание на то, что во многих случаях кредитные карточки имеют форму золотого прямоугольника.

Золотой прямоугольник и кредитная карта

Пентаграмма и «Пентагон»

Если в пентаграмме провести все диагонали, то в результате мы получим хорошо известную нам пятиугольную звезду. Доказано, что точки пересечения диагоналей в пентаграмме всегда являются точками золотого сечения диагоналей. При этом эти точки образуют новую пентаграмму FGHKL. В новой пентаграмме можно провести диагонали, пересечение которых образуют еще одну пентаграмму, и это процесс может быть продолжен до бесконечности. Таким образом, пентаграмма ABCDE как бы состоит из бесконечного числа пентаграмм, которые каждый раз образуются точками пересечения диагоналей. Эта бесконечная повторяемость одной и той же геометрической фигуры создает чувство ритма и гармонии, которое неосознанно фиксируется нашим разумом. Пентаграмма вызывала особое восхищение у пифагорейцев и считалась их главным опознавательным знаком. Здание военного ведомства США имеет форму пентаграммы и получило название «Пентагон», что значит правильный пятиугольник.

Итак, я рассказала, что такое золотое сечение, а теперь, так как мой доклад посвящён применению золотого сечения, то я сейчас об этом и расскажу.

Задача о кроликах. Числа Фибоначчи.

ЗАДАЧА О КРОЛИКАХ

Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет др. пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения.

Ясно, что если считать первую пару кроликов новорожденными, то на второй месяц мы будем по прежнему иметь одну пару; на 3-й месяц - 1+1=2; на 4-й месяц - 2+1=3 пары (ибо из двух имеющихся пар потомство дает лишь одна пара); на 5-й месяц - 3+2=5 пар (лишь 2 родившиеся на 3-й месяц пары дадут потомство на 5-й месяц); на 6-й месяц - 5+3=8 пар (ибо потомство дадут только те пары, которые родились на 4-м месяце) и т. д.

Из этой задачи последовало открытие некого ряда последовательности натуральных чисел каждый член, которой, начиная с третьего равен сумме двух предыдущих членов: Uk=1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,. ,Такая последовательность получила название Последовательность Фибоначчи, а её члены числами Фибоначчи. Отношение последующего члена ряда к предыдущему стремится к коэффициенту золотого сечения

В алгебре общепринято его обозначение греческой буквой фи

Золотое сечение не обошло и человека

Золотое сечение является основой построения гармоничных форм, так как является абсолютным законом формообразования в природе, частью которой мы являемся. Законы гармонии – есть числовые законы.

Моделируя обычного человека, мы, скорее всего, не берем линейку и калькулятор, высчитывать золотые пропорции. Мы просто интуитивно ощущаем эти формы, ибо формы человеческого существа попадаются нам на глаза чаще, чем что-либо другое, но создавая модель необычного существа, растения, сооружения, нам стоит использовать знания геометрии и золотого сечения, чтобы на результат работы можно было смотреть без отвращения, хотя если вы добиваетесь как раз чувства отвращения, то вы знаете, что вы должны делать.

В любом случае, знание законов природы (числовых законов), помогает нам как можно быстрее достичь желаемого результата.

Немецкий профессор Цейзинг в середине 18 столетия проделал огромную работу: он измерил более 2000 тел и высказал предположение, что золотое сечение выражает среднестатистический закон: деление тела точкой пупа – один из основных показателей золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13: 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8: 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1: 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела – длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т. д.

у маленьких детей (около года) пропорция составляет отношение 1: 1.

Недавно наш современник, американский хирург Стивен Маркварт создал, используя принцип "золотого сечения", геометрическую маску, которая может служить эталоном прекрасного лица. Чтобы узнать, соответствует ли лицо идеалу, достаточно скопировать маску на прозрачную пленку и наложить ее на фотографию соответствующего размера.

Так, разделив в отношении" золотого сечения" отрезок, заключенный между макушкой и адамовым яблоком, мы получим точку, лежащую на линии бровей (В). При дальнейшем золотом делении образовавшихся частей получим последовательно кончик носа (С), конец подбородка (D).

Золотое сечение в ухе человека.

Во внутреннем ухе человека имеется орган Cochlea ("Улитка"), который исполняет функцию передачи звуковой вибрации. Эта костевидная структура наполнена жидкостью и также сотворена в форме улитки, содержащую в себе стабильную логарифмическую форму спирали = 73º 43’.

Раз уж золотое сечение коснулось человека, то скажу, что оно присутствует даже в строении молекулы ДНК.

Все сведения о физиологических особенностях живых существ хранятся в микроскопической молекуле ДНК, строение которой также содержит в себе закон золотой пропорции. Молекула ДНК состоит из двух вертикально переплетенных между собой спиралей. Длина каждой из этих спиралей составляет 34 ангстрема, ширина 21 ангстрема. (1 ангстрем - одна стомиллионная доля сантиметра). Так вот 21 и 34 - это цифры, следующие друг за другом в последовательности чисел Фибоначчи, то есть соотношение длины и ширины логарифмической спирали молекулы ДНК несет в себе формулу золотого сечения 1:1,618.

Каждый из нас хоть раз в своей жизни да был на море и держал в своих руках ракушку спиралевидной формы. Ну, так вот: такая раковина закручена по спирали. Если ее развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см. Спирали очень распространены в природе. Представление о золотом сечении будет неполным, если не сказать о спирали.

Спираль Архимеда

Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал ее и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике.

Золотое сечение в живописи и фотографии.

В фотографии

Когда мы хотим сделать красивый снимок, то часто замечаем, что не умеем мысленно расставлять объекты так, чтобы они потом смотрелись на готовой фотографии в наилучшем виде. В этом нам может помочь правило золотого сечения. С помощью горизонтальных и вертикальных линий мы мысленно делим видоискатель на девять одинаковых секторов. Четыре центральные точки пересечения горизонтальных и вертикальных линий и будут для нас ключевыми.

Практическое использование правила «Золотого сечения» при компоновке кадра.

Ниже, приведены различные варианты сеток, созданных на базе по правилу «Злотого сечения», для различных композиционных вариантов. Для того, что бы понять принципы необходимо самостоятельно экспериментально, попробовать, совместить сетки с вашими фотографиями. Базовые сетки, выглядят так:

Вот фотография кота, который расположен в произвольном месте кадра.

Теперь условно поделим кадр на отрезки, в пропорции по 1. 62 общей длины от каждой стороны кадра. В местах пересечения отрезков и будут основные "зрительные центры", в которых стоит разместить необходимые ключевые элементы изображения.

Перенесем нашего кота в точки "зрительных центров".

Вот так теперь выглядит композиция. Правда, гораздо лучше?

Для того чтобы понять суть золотого сечения, попробуйте сами сделать несколько фотографий человека, сидящего на садовой скамейке. Убедитесь, что наиболее гармоничной получится фотография, на которой человек сидит не в центре и не с краю, а в точке, соответствующей золотому сечению (делящий скамейку примерно в соотношении 2:3).

В живописи

Мастера Древней Греции, умевшие сознательно пользоваться золотой пропорцией, что, в сущности, весьма просто, умело применяли ее гармонические величины во всех видах искусства и достигли такого совершенства строения форм, выражающих их общественные идеалы, какое редко встречается в практике мирового искусства. Вся античная культура прошла под знаком золотой пропорции. Знали эту пропорцию и в Древнем Египте. Я покажу это на примере таких живописцев как: Рафаэль, Леонардо да Винчи, Боттичелли, Шишкин.

На подготовительном эскизе Рафаэля проведены красные линии, идущие от смыслового центра композиции - точки, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребенка, - вдоль фигур ребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесенным мечом и затем вдоль фигур такой же группы в правой части эскиза. Если естественным образом соединить эти куски кривой пунктиром, то с очень большой точностью получается. золотая спираль! Это можно проверить: измеряя отношение длин отрезков, высекаемых спиралью на прямых, которые проходят через начало кривой. «Избиение младенцев» Рафаэль

В знаменитой фреске “Афинская школа”, где в храме науки предстоит общество великих философов древности, наше внимание привлекает группа Эвклида - крупнейшего древнегреческого математика, разбирающего сложный чертеж. Хитроумная комбинация двух треугольников также построена в соответствии с пропорцией золотого сечения: она может быть вписана в прямоугольник с соотношением сторон 5/8. Этот чертеж удивительно легко вставляется в верхний участок архитектуры. Верхний угол треугольника упирается в замковый камень арки на ближнем к зрителю участке, нижний - в точку схода перспектив, а боковой участок обозначает пропорции пространственного разрыва между двумя частями арок.

ЛЕОНАРДО да ВИНЧИ

Портрет Моны Лизы (Джоконда) Леонардо да Винчи привлекает тем, что композиция рисунка построена на "золотых треугольниках", точнее на треугольниках, являющихся кусками правильного звездчатого пятиугольника.

“Тайная вечеря” - самое зрелое и законченное произведение Леонардо. В этой росписи мастер избегает всего того, что могло бы затемнить основной ход изображенного им действия, он добивается редкой убедительности композиционного решения. В центре он помещает фигуру Христа, выделяя ее просветом двери. Апостолов он сознательно отодвигает от Христа, чтобы еще более акцентировать его место в композиции. Наконец, в этих же целях он заставляет сходиться все перспективные линии в точке, непосредственно расположенной над головой Христа. Учеников Леонардо разбивает на четыре симметрические группы, полные жизни и движения. Стол он делает небольшим, а трапезную - строгой и простой. Это дает ему возможность сосредоточить внимание зрителя на фигурах, обладающих огромной пластической силой. Во всех этих приемах сказывается глубокая целеустремленность творческого замысла, в котором все взвешено и учтено. "

Боттичелли - "Рождение Венеры"

На картине изображено не само рождение богини, а последовавший за тем момент, когда она, гонимая дыханием гениев воздуха, достигает берега, где ее встречает одна из граций. Согласно древнейшему греческому поэту Гесиоду ("Теогония", 188-200), Венера родилась из моря - из пены, которую произвели гениталии оскопленного Урана (САТУРН), выброшенные в воду Кроном. Она плывет к берегу в раскрытой раковине, подгоняемой мягким дуновением ветра, и, наконец, причаливает на Пафосе (на Кипре) - одном из главных мест почитания ее, культа в античности. Ее греческое имя Афродита, возможно, происходит от aphros, что значит "пена".

Около острова Киферы родилась Афродита, дочь Урана, из белоснежной пены морских волн. Легкий, ласкающий ветерок принес ее на остров Кипр. Там окружили юные Оры вышедшую из морских волн богиню любви. Они облекли ее в златотканую одежду и увенчали венком из благоухающих цветов. Где только не ступала Афродита, там пышно разрастались цветы. Весь воздух полон был благоуханием. Эрот и Гимерот повели дивную богиню на Олимп. Громко приветствовали ее боги. С тех пор всегда живет среди богов Олимпа златая Афродита, вечно юная, прекраснейшая из богинь.

На этой знаменитой картине И. И. Шишкина с очевидностью просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит длину картины по золотому сечению. Справа от сосны - освещенный солнцем пригорок. Он делит по золотому сечению правую часть картины по горизонтали. Слева от главной сосны находится множество сосен - при желании можно с успехом продолжить деление картины по золотому сечению и дальше.

Наличие в картине ярких вертикалей и горизонталей, делящих ее в отношении золотого сечения, придает ей характер уравновешенности и спокойствия, в соответствии с замыслом художника. Когда же замысел художника иной, если, скажем, он создает картину с бурно развивающимся действием, подобная геометрическая схема композиции (с преобладанием вертикалей и горизонталей) становится неприемлемой.

Золотое сечение в архитектуре

Архитектура - это способность нашего сознания закреплять в материальных формах чувство эпохи. Ле Корбюзье

Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V в. до н. э.).

На рисунке виден целый ряд закономерностей, связанных с коэффициентом золотого сечения.

На плане пола Парфенона также можно заметить "золотые прямоугольники":

В пропорциях здания собора Парижской Богоматери мы тоже видим золотую пропорцию.

М. Казаков использовал «золотое сечение» достаточно широко в своём творчестве.

Его талант был многогранным, но в большей степени он раскрылся в многочисленных осуществленных проектах жилых домов и усадеб. Например, «золотое сечение» можно обнаружить в архитектуре здания сената в Кремле.

Многие античные скульпторы пользовались правилом золотой пропорции при возведении своих произведений.

Рассмотрим это на примере статуи Аполлона Бельведерского: пупочная линия делит рост изображённого человека в отношении золотой пропорции.

И ещё несколько примеров в доказательство тому, что золотое сечение мы наблюдаем и в скульптуре.

Дорифор Поликлета и его гармонический анализ

Венера Милосская и ее гармонический анализ

Давид Микеланджело

6. Золотая пропорция в живой природе

Все в мире связано в единое начало:

В движенье волн - шекспировский сонет,

В симметрии цветка - основы мирозданья,

А в пенье птиц - симфония планет.

Живая природа в своем развитии стремилась к наиболее гармоничной организации, критерием которой является золотая пропорция, проявляясь на самых различных уровнях - от атомных сочетаний до строения тел высших животных.

Цветки и семена подсолнуха, ромашки, чешуйки в плодах ананаса, хвойных шишках "упакованы" по логарифмическим спиралям, завивающимся навстречу друг другу. Причем числа "правых "и "левых " спиралей, всегда относятся друг к другу, как соседние числа Фибоначчи.

В формулах листорасположения (филлотаксис) многих растений встречаются числа Фибоначчи, расположенные строго закономерно - через одно, например, орешник -1/3, дуб, вишня - 2/5, облепиха-5/13

Рассмотрим побег цикория. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок. Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс.

Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий – 38, четвертый – 24 и т. д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.

Многие бабочки и другие насекомые не избежали столкновения с этим замечательным, на мой взгляд, явлением золотого сечения. Соотношение размеров грудной и брюшной части тела отвечает золотой пропорции. Сложив крылья, ночная бабочка образует правильный равносторонний треугольник. Но стоит ей развести крылья, и вы увидите всё тот же принцип деления тела на 2,3,5,8. Стрекоза также создана по законам золотой пропорции: отношение длин хвоста и корпуса равно отношению общей длины к длине хвоста.

Снежинки представляют собой водные кристаллы, которые доступны нашему невооружённому глазу. Они невероятно красивы и различны по форме, но все их составляющие являются геометрическими фигурами, и так же без исключения построены по принципу золотой пропорции.

Золотое сечение затронуло даже поэзию и музыку.

В поэзии

В строении каждого стихотворения мы не можем не заметить определённые закономерности, а, следовательно, там и золотая пропорция и числа Фибоначчи. В каждом втором стихотворении А. С. Пушкина присутствует образец (паттерн) золотого сечения. А образец (паттерн) зеркальной симметрии – в каждом третьем. Один из двух паттернов обнаруживается в двух из трех стихотворений (524 или 66%), а оба паттерна - в каждом пятом стихотворении (150 или 19%).

Главными функциями золотого сечения в творчестве Пушкина являются:

}